Preferencias

Economía I

Felipe Tappata

4 de abril de 2025

Teoría de elección

Teoría de elección

• Hay un conjunto \(X\) de alternativas.
• El consumidor tiene una forma de decidir cuál es mejor entre dos alternativas.
• Debe elegir una alternativa de \(B\), que son las alternativas factibles
  • En el contexto de teoría del consumidor, \(B\) es el conjunto de bienes que puede comprar dados los precios y su ingreso.

Relación binaria

• Una relación binaria es una relación entre dos cosas

Definición (Relación binaria)

Una relación binaria \(R\) define una asociación entre elementos de \(X\). Es el conjunto de pares ordenados \((x,y)\) tales que \(x\) tiene dicha asociación con \(y\). Decimos \(x R y\) si \((x,y) \in R\).

Relación binaria: ejemplos

• Mayor o igual: \(X = \mathbb{R}\), \(x R y\) si \(x \geq y\).
• Amigo de: \(X = \{\text{Ana}, \text{Benja}, \text{Cata}\}\), \(x R y\) si \(x\) es amigo de \(y\).
• Igual: \(X = \mathbb{R}\), \(x R y\) si \(x = y\).
• Más alto que: \(X = \{\text{Lebron James}, \text{Kobe Bryant}, \text{Shaquille O'Neal}\)}, \(x R y\) si \(x\) es más alto que \(y\).

Relación de preferencia

• Formalizamos la noción de “cuál es mejor”.

Definición (Relación de preferencia)

Dado un conjunto \(X\) de alternativas mutuamente excluyentes, una relación de preferencia \(\succsim\) es una relación binaria en \(X\). Leemos \(x \succsim y\) como “\(x\) es al menos tan bueno como \(y\)”.

• Por ahora, no imponemos ningún tipo de estructura sobre \(\succsim\).
• Tiene propiedades parecidas a las de \(\geq\).

Preferencia estricta

• De la relación \(\succsim\) podemos definir otras relaciones binarias.

Definición (Preferencia estricta)

La relación de preferencia estricta \(\succ\) se define por \[ x \succ y \text{ si y solo si } x\succsim y \text{ pero no } y\succsim x \]

y se lee “\(x\) es preferido (o estrictamente preferido) a \(y\)”.

• Es parecido a \(>\).

Indiferencia

Definición (Indiferencia)

La relación de indiferencia \(\sim\) se define por \[ x \sim y \text{ si y solo si } x\succsim y \text{ y } y\succsim x \] y se lee “\(x\) es indiferente a \(y\)”.

• Es parecido a \(=\).

Interpretación de preferencias

• La relación binaria de preferencias es una forma de modelar el concepto de “preferencia” en la vida real
• Hablamos como si fueran la misma cosa
• “Pedro prefiere una manzana a una banana y una banana a siete uvas, pero no una banana a diez uvas” es como decir:
  • \(1 \text{ manzana} \succ 1 \text{ banana}\)
  • \(1 \text{ banana} \succ 7 \text{ uvas}\)
  • \(1 \text{ banana}\nsucceq 10 \text{ uvas}\)

Preferencias raras

• No impusimos ningún tipo de restricción a cómo deben ser las preferencias de un consumidor
• Podemos observar comportamientos raros que nos gustaría descartar como “poco realistas”¹
• Ejemplo:
  • \(X = \{\text{Auto } (A), \text{Bicicleta } (B), \text{Camión } (C)\}\)
  • \(A \succ B\)
  • \(B \succ C\)
  • \(C \succ A\)

1. No en el sentido de que no sean parecidos a la realidad, sino en el sentido de que llevan a predicciones no verosímiles. Ver Clase 1.

Racionalidad

• Uno de los supuestos que hacemos para eliminar comportamientos no deseables es imponer racionalidad
• Es un nombre que tiene muchas connotaciones pero para nosotros es una definición matemática muy simple

Definición (Racionalidad)

La relación de preferencias \(\succsim\) es racional si posee las siguientes dos propiedades:

1. Completitud: Para todo \(x, y \in X\), tenemos \(x \succsim y\) o \(y \succsim x\) (o ambos).
2. Transitividad: Para todo \(x, y, z \in X\), si \(x \succsim y\) y \(y \succsim z\), entonces \(x \succsim z\).

Propiedades de racionalidad

• Lo mínimo que vamos a exigir en cualquier modelo es racionalidad.
• Algunas propiedades se desprenden de suponer racionalidad.

Proposición (Implicaciones de racionalidad)

Si \(\succsim\) es racional, entonces

1. La relación de preferencia estricta \(\succ\) es irreflexiva (nunca vale que \(x \succ x\)) y transitiva (si \(x \succ y\) e \(y \succ z\), entonces \(x \succ z\)).
2. La relación de indiferencia \(\sim\) es reflexiva (siempre vale que \(x \sim x\)), transitiva (si \(x \sim y\) e \(y \sim z\), entonces \(x \sim z\)) y simétrica (si \(x \sim y\), entonces \(y \sim x\)).
3. Si \(x \succ y\) e \(y \succsim z\), entonces \(x \succ z\).

Elección del consumidor

• La teoría de preferencias como la definimos vale para \(X\) muy amplio
• Vamos a restringirnos al caso de teoría del consumidor, donde \(X\) es un conjunto de canastas de bienes y \(B\) es el conjunto presupuestario del consumidor, dados los precios y el ingreso.
• Problema del consumidor: Elegir la mejor canasta posible, \(x^* \in B\subset X\), según su relación de preferencias \(\succsim\) sobre \(X\), dados los precios \(p = (p_1, p_2, \ldots, p_L)\) y su ingreso \(m\). A la solución de su problema la llamamos su demanda.

Siempre se puede estar mejor

• Cuando estamos pensando a \(X\) como canastas de bienes, sería natural esperar que las preferencias prioricen canastas con más bienes.
• Tenemos dos propiedades de relaciones de preferencias que nos permiten formalizar esta idea.
• No son tan fundamentales como racionalidad, pero en general vamos a estar suponiendo alguna de las dos.
• Suponemos de ahora en adelante que \(X = \mathbb{R}^L_+\) (canastas no negativas de \(L\) bienes).

Monotonicidad

• Monotonicidad: “más es mejor.”
• Decimos \(x \gg y\) si cada elemento de \(x\) es mayor que el correspondiente de \(y\).
  • \((1, 2, 3) \gg (0, 1, 2)\)

Definición (Monotonicidad)

La relación de preferencia \(\succsim\) en \(X\) es monótona si \(x \in X\) e \(y \gg x\) implica \(y \succ x\).

Monotonicidad fuerte

• Monotonicidad fuerte: “al menos tanto de todo y msá de alguno es mejor.”
• Decimos \(x \geq y\) si cada elemento de \(x\) es mayor o igual que el correspondiente de \(y\) y alguno es mayor estricto
  • \((1, 2, 3) \geq (1, 2, 2)\)

Definición (Monotonicidad fuerte)

La relación de preferencia \(\succsim\) en \(X\) es fuertemente monótona si \(x \in X\) e \(y \geq x\) implica \(y \succ x\).

No saciedad local

• No saciedad local: “cerca hay algo mejor.”
• La distancia entre dos canastas \(x\) e \(y\) la denotamos como \(\lVert x - y \rVert\).

Definición (No saciedad local)

La relación de preferencia \(\succsim\) en \(X\) es localmente no saciada si para cada \(x \in X\) y todo \(\varepsilon > 0\), hay un \(y \in X\) tal que \(\lVert y-x \rVert \leq \varepsilon\) e \(y \succ x\).

• En palabras, NSL nos dice que en cualquier entorno de una canasta se puede encontrar una mejor.

Canastas intermedias

• Otra idea que queremos capturar es que las preferencias son “convexas”
• En palabras, convexidad de preferencias captura el hecho de que canastas “intermedias” son mejores que canastas “extremas”
• Esto corresponde con lo que observamos en la vida real: la gente suele preferir consumir un poco de cada bien en lugar de todo de uno
• La palabra “convexidad” surge en contextos donde tomamos promedios entre cosas (en este caso, entre canastas)

Convexidad

• Convexidad: “canastas intermedias no son peores.”
• Una forma de representar un promedio entre dos canastas \(x\) e \(y\) es la combinación convexa \(\alpha x + (1 - \alpha) y\), donde \(\alpha \in (0,1)\). Si \(\alpha = 0.5\), es el promedio simple.

Definición (Convexidad)

La relación de preferencia \(\succsim\) en \(X\) es convexa si para todo \(x, y, z \in X\) tales que \(y \succsim x\) y \(z \succsim x\), tenemos que \(\alpha y + (1 - \alpha) z \succsim x\) para cualquier \(\alpha \in (0,1)\).

Convexidad estricta

• Convexidad estricta: “canastas intermedias son mejores.”

Definición (Convexidad estricta)

La relación de preferencia \(\succsim\) en \(X\) es estrictamente convexa si para todo \(x, y, z \in X\) tales que \(y \succsim x\), \(z \succsim x\) e \(y \neq z\), tenemos \(\alpha y + (1 - \alpha) z \succ x\) para todo \(\alpha \in (0,1)\).

Utilidad

Utilidad

• Preferencias son buenas porque no le exigen mucho al modelo (supusimos relativamente poco) pero no es fácil “hacer cuentas” con ellas.
• En matemática hay muchas herramientas para trabajar con números reales y funciones de ellos.
• Entonces buscamos de alguna manera traducir preferencias a números.

Función de utilidad

• La función de utilidad es la traducción de preferencias a números

Definición (Función de utilidad)

Una función \(u:X \to \mathbb{R}\) es una función de utilidad asociada a la relación de preferencia \(\succsim\) si para todo \(x, y \in X\), \[ x \succsim y \text{ si y solo si } u(x) \geq u(y). \]

• Es decir, la utilidad de una canasta \(x\) es mayor a la utilidad de una canasta \(y\) cuando \(x\) es preferida a \(y\).

Importancia de racionalidad

• El siguiente resultado muestra por qué es útil el supuesto de racionalidad.

Proposición

Una relación de preferencias \(\succsim\) puede ser representada por una función de utilidad solo si es racional.

Ordinalidad

• La utilidad le otorga un número a cada canasta, pero el nivel es arbitrario.
• El número solo sirve para ponerle un orden a las canastas; no tiene significado en sí.
• Decimos que la utilidad es ordinal por esta razón
• Ejemplo: el puesto de un competidor en un torneo está en una escala ordinal (números menores son mejores) pero no tendría sentido decir algo como que el puesto 1 es “el doble de bueno” que el puesto 2 y el dos “el triple de bueno” que el 6.

Función de utilidad (ejemplos)

• \(X = \mathbb{R}^2_+\), \(x = \text{manzanas}\), \(y = \text{peras}\).
• \(u(x,y) = x + y\).
• \(u(x,y) = \sqrt{x} + 2y\).
• \(u(x,y) = \min\{x,y\}\).
• \(u(x,y) = -\frac{1}{x+2y}\)
• \(u(x, y) = x^\alpha y^\beta\)