Elección Óptima

Economía I

Felipe Tappata

11 de abril de 2025

Clase

Curvas de indiferencia

Vimos que las curvas de indiferencia son una manera útil de representar preferencias.
A partir de los gráficos de curvas de indiferencia, podemos ver si cumplen con monotonicidad y convexidad.
Además, con un mapa de indiferencia, sabemos como se relacionan dos puntos en el plano (i.e., cual es mejor)

Restricción presupuestaria

Hace unas clases habíamos definido el concepto de conjunto presupuestario.
Lo denotamos \(B\) y contiene todas las canastas que el consumidor puede comprar, dados los precios y su ingreso.
La recta presupuestaria es la frontera de \(B\): las canastas que implican gastar todo el ingreso.

Clase de hoy

Definición de tasa marginal de sustitución.
Primero vamos a ver algunas funciones de utilidad que son particularmente relevantes.
Luego vamos a juntar la idea de las curvas de indiferencia con la restricción presupuestaria para ver cómo se elige una canasta óptima.

Tasa marginal de sustitución

De la misma manera que la pendiente negativa de la FPP representaba el trade-off entre producción de bienes, la pendiente negativa de una curva de indiferencia representa el trade-off entre consumo de diferentes bienes

Definición (Tasa marginal de sustitución)

La tasa marginal de sustitución (TMS) entre \(X\) e \(Y\) es la cantidad de \(Y\) que el consumidor está dispuesto a sacrificar para obtener una unidad adicional de \(X\), manteniendo la misma utilidad.

TMS

Podemos pensar a la TMS como la respuesta a la pregunta:

Si le doy una unidad más de \(X\) al consumidor, cuanto le tengo que sacar de \(Y\) para dejarlo igual de contento que antes?

La TMS de \(x\) en términos de \(y\) es la inversa de la TMS de \(y\) en términos de \(x\).
La TMS es (menos) la pendiente de la curva de indiferencia en un punto dado.
Para una curva de indiferencia lineal, la TMS es constante.

TMS para curvas de indiferencia no lineales

Para curvas de indiferencia lineales, la TMS tiene la interpretación exacta dada anteriormente.
Para curvas de indiferencia no lineales, es solo una aproximación.
La pendiente de la curva en un punto surge de considerar la pendiente entre dos puntos para cambios cada vez más chicos

TMS como pendiente

TMS como derivada

Para los que les interese la matemática, la TMS tal como la estamos describiendo corresponde a (menos) la derivada de la curva de indiferencia contra \(x\)
El proceso de ir achicando el cambio en \(X\) y ver a qué converge la pendiente es cómo se define la derivada en un punto
La derivada es la pendiente de la recta tangente a un punto

Notación

Si \(m\) es la pendiente de la curva de indiferencia, nosotros definimos la TMS como \[ \operatorname{TMS}_{x, y} = -m. \]
Algunos escriben la TMS como \[ \operatorname{TMS}_{x, y} = m, \] y hablan del \(\lvert TMS_{x, y} \rvert\) (el valor absoluto).

Sustitutos y complementos

Dos casos de preferencias que nos van a interesar particularmente en la materia son los de sustitutos y complementos perfectos
Las funciones de utilidad correspondientes son
- Sustitutos perfectos: \(U(X, Y) = aX + bY\).
- Complementos perfectos: \(U(X, Y) = \min(aX, bY)\).

Sustitutos perfectos

Los sustitutos perfectos los podemos pensar como bienes que se pueden reemplazar entre sí para el consumidor
Ejemplos: café y té, coca y pepsi, manzanas y peras
Más formalmente, los sustitutos perfectos se caracterizan por tener una TMS constante
En general los describimos con la función de utilidad \[ u(x_1, x_2) = a_1 x_1 + a_2 x_2. \]

Ejercicio: sustitutos perfectos

Suponga que la función de utilidad de un consumidor es \(U(X, Y) = 2X + 3Y\).

Grafique el mapa de indiferencia.

Calcule la TMS entre \(X\) e \(Y\).

Describa las propiedades de las preferencias.

BONUS: por cuál de los dos bienes esperaría que el consumidor esté dispuesto a pagar un mayor precio? Justifique.

Complementos perfectos

Los complementos perfectos los podemos pensar como bienes que se tienen que consumir en una dada proporción
Ejemplos: café y medialunas, coca y papas fritas
En general los describimos con la función de utilidad \[ u(x_1, x_2) = \min(a_1 x_1, a_2 x_2). \]

Ejercicio: complementos perfectos

Suponga que la función de utilidad de un consumidor es \(U(X, Y) = \min(X, Y)\).

Grafique el mapa de indiferencia.

Describa las propiedades de las preferencias.

Elección óptima

Lo que nos preguntamos ahora es:

Dado un conjunto \(B\) de canastas accesibles a precios \(p_x\) y \(p_y\), y un ingreso \(m\), ¿cuál es la mejor canasta que puede comprar el consumidor?

La respuesta va a depender de la forma de las preferencias del consumidor, y de las variables que definen su conjunto presupuestario:
- precios de los bienes (\(p_x\) y \(p_y\))
- ingreso (\(m\))

Reiterando…

La canasta óptima es la canasta que está sobre la recta presupuestaria o por debajo de ella (i.e., en el conjunto presupuestario) que cae sobre la mayor curva de indiferencia posible. Es en esta canasta que el consumidor obtiene la mayor utilidad posible, dado su ingreso y los precios de los bienes.

Consecuencia de monotonicidad

Cuando las preferencias son monótonas, ningún punto que esté por debajo de la restricción presupuestaria puede ser óptimo.
¿Por qué?

Proposición

Si las preferencias son monótonas, la canasta óptima se encuentra sobre la recta presupuestaria.

Gráfico: preferencias well-behaved

Figura 1: Óptimo para preferencias monótonas y convexas (estrictamente)

Ejercicio

Usando la Figura 1, explique por qué la canasta óptima es la que está en el punto de tangencia entre la curva de indiferencia y la restricción presupuestaria.

Geometría de elección óptima

Cuando las preferencias son bien comportadas (i.e., cumplen con las propiedades de convexidad y monotonicidad), la elección óptima se puede graficar de la siguiente manera:
- La curva de indiferencia más alta que toca la restricción presupuestaria es la canasta óptima.
- La TMS en el punto de tangencia es igual a la pendiente de la recta presupuestaria.

Valoración del mercado vs. personal

La TMS nos dice como valora el individuo al bien \(X\) en un punto, en términos de \(Y\).
El precio (relativo) de \(X\) nos dice cuanto valora el mercado al bien \(X\) en un punto, en términos de \(Y\).
¿Qué pasa si la TMS es diferente al precio relativo en un punto? ¿Cómo puede mejorar, marginalmente, el consumidor?
Con monotonicidad y convexidad estricta, el óptimo se da en un punto tal que el consumidor y el mercado están dispuestos a sustituir los bienes a la misma tasa.

TMS igual a precio relativo

Proposición (TMS igual a precio relativo)

Si las preferencias son monótonas y convexas, la canasta óptima se encuentra en el punto \((x^*, y^*)\) donde la tasa marginal de sustitución es igual al precio: \[ \operatorname{TMS}_{x, y}(x^*, y^*) = \frac{p_x}{p_y}. \] Análogamente, \[ \operatorname{TMS}_{y, x}(x^*, y^*) = \frac{p_y}{p_x}. \]

Sustitutos perfectos

En el caso de sustitutos perfectos, no podemos igualar \(\operatorname{TMS}_{x, y}\) al precio relativo, porque no cumplen…
- …convexidad estricta
La TMS es constante
Vamos a llegar a lo que se conoce como solución de esquina.

Ejercicio: sustitutos perfectos

Suponga que la función de utilidad de un consumidor es \(U(X, Y) = 2X + 4Y\) y que el consumidor dispone de un ingreso de \(100\).

Grafique algunas curvas de indiferencia. Calcule la TMS.

Suponga que el precio de \(X\) es 1 y el precio de \(Y\) es 3. Grafique el conjunto presupuestario.

¿Cuál es la canasta óptima?

Suponga ahora que el precio de \(X\) sube a \(2\). Grafique de nuevo el conjunto presupuestario y encuentre la nueva canasta óptima.

Solución de esquina (I)

Cuando en sustitutos perfectos tenemos que \(TMS_{x, y} < \frac{p_x}{p_y}\), el consumidor está dispuesto a renunciar menos unidades de \(Y\) para obtener una unidad más de \(X\) que lo que el mercado le pide.
\(X\) es caro relativo a su valoración de él (\(Y\) es barato).
Entonces consume todo de \(Y\) y nada de \(X\).

Solución de esquina (II)

Cuando en sustitutos perfectos tenemos que \(TMS_{x, y} > \frac{p_x}{p_y}\), el consumidor está dispuesto a renunciar más unidades de \(Y\) para obtener una unidad más de \(X\) que lo que el mercado le pide.
\(X\) es barato relativo a su valoración de él (\(Y\) es caro).
Entonces consume todo de \(X\) y nada de \(Y\).

Solución interior

Puede ocurrir un tercer caso, que \(TMS_{x, y} = \frac{p_x}{p_y}\).
En este caso, el consumidor está dispuesto a renunciar exactamente la misma cantidad de \(Y\) para obtener una unidad más de \(X\) que lo que el mercado le pide.
La curva de indiferencia se superpone con la RP y cualquier punto sobre ella es óptimo.

Canasta óptima (sustitutos)

La canasta óptima \((x^*, y^*)\) se puede resumir de la siguiente manera: \[ (x^*, y^*) = \begin{cases} (0, m/p_y) & \text{si } TMS_{x, y} < \frac{p_x}{p_y}, \\ (x, y) \in RP & \text{si } TMS_{x, y} = \frac{p_x}{p_y}, \\ (m/p_x, 0)& \text{si } TMS_{x, y} > \frac{p_x}{p_y}, \end{cases} \] donde \(RP\) es la recta presupuestaria.

Clase siguiente

Elección óptima con complementos perfectos.