Vimos la clase pasada que cuando las preferencias son monótonas y estrictamente convexas, podemos caracterizar la elección óptima a través de la condición \[
\operatorname{TMS}_{x, y} = \frac{p_x}{p_y}.
\]
Visualmente, el punto donde se cumple la condición anterior es el punto de tangencia entre la curva de indiferencia y la recta presupuestaria.
Sustitutos perfectos
Sustitutos perfectos
En el caso de sustitutos perfectos, no podemos igualar \(\operatorname{TMS}_{x, y}\) al precio relativo, porque no cumplen…
…convexidad estricta
La TMS es constante
Vamos a llegar a lo que se conoce como solución de esquina.
Ejercicio: sustitutos perfectos
Suponga que la función de utilidad de un consumidor es \(U(X, Y) = 2X + 4Y\) y que el consumidor dispone de un ingreso de \(100\).
Grafique algunas curvas de indiferencia. Calcule la TMS.
Suponga que el precio de \(X\) es 1 y el precio de \(Y\) es 3. Grafique el conjunto presupuestario.
¿Cuál es la canasta óptima?
Suponga ahora que el precio de \(X\) sube a \(2\). Grafique de nuevo el conjunto presupuestario y encuentre la nueva canasta óptima.
Solución de esquina (I)
Cuando en sustitutos perfectos tenemos que \(TMS_{x, y} < \frac{p_x}{p_y}\), el consumidor está dispuesto a renunciar menos unidades de \(Y\) para obtener una unidad más de \(X\) que lo que el mercado le pide.
\(X\) es caro relativo a su valoración de él (\(Y\) es barato).
Entonces consume todo de \(Y\) y nada de \(X\).
Solución de esquina (II)
Cuando en sustitutos perfectos tenemos que \(TMS_{x, y} > \frac{p_x}{p_y}\), el consumidor está dispuesto a renunciar más unidades de \(Y\) para obtener una unidad más de \(X\) que lo que el mercado le pide.
\(X\) es barato relativo a su valoración de él (\(Y\) es caro).
Entonces consume todo de \(X\) y nada de \(Y\).
Solución interior
Puede ocurrir un tercer caso, que \(TMS_{x, y} = \frac{p_x}{p_y}\).
En este caso, el consumidor está dispuesto a renunciar exactamente la misma cantidad de \(Y\) para obtener una unidad más de \(X\) que lo que el mercado le pide.
La curva de indiferencia se superpone con la RP y cualquier punto sobre ella es óptimo.
Canasta óptima (sustitutos)
La canasta óptima \((x^*, y^*)\) se puede resumir de la siguiente manera: \[
(x^*, y^*) = \begin{cases}
(0, m/p_y) & \text{si } TMS_{x, y} < \frac{p_x}{p_y}, \\
(x, y) \in RP & \text{si } TMS_{x, y} = \frac{p_x}{p_y}, \\
(m/p_x, 0)& \text{si } TMS_{x, y} > \frac{p_x}{p_y},
\end{cases}
\] donde \(RP\) es la recta presupuestaria.
Complementos perfectos
Complementos perfectos
En el caso de complementos perfectos, no podemos igualar \(\operatorname{TMS}_{x, y}\) al precio relativo, porque no cumplen…
…convexidad estricta
La TMS no está bien definida.
Ejercicio: complementos perfectos
Suponga que la función de utilidad de un consumidor es \(U(X, Y) = \min\{6X, 2Y\}\) y que el consumidor dispone de un ingreso de \(100\).
Grafique algunas curvas de indiferencia.
Suponga que el precio de \(X\) es 1 y el precio de \(Y\) es 3. Grafique el conjunto presupuestario.
¿Cuál es la canasta óptima?
Encuentre “el rayo”: la colección de puntos óptimos que se dan a diferentes niveles de ingreso y precios.
Rayo
Vimos gráficamente que la canasta óptima siempre se da sobre el vértice de una curva de indiferencia
Podemos escribir una ecuación que caracteriza todos esos vértices: si la función de utilidad es \(U(X, Y) = \min\{aX, bY\}\), toda canasta óptima cumple \[
Y = \frac{a}{b}X,
\] además de estar sobre la R.P.
Solución de complementos
En resumen, la elección óptima para complementos perfectos se da en la intersección del rayo y la recta presupuestaria.
La canasta óptima \((x^*, y^*)\) se puede resumir de la siguiente manera: \[
\begin{gather}
ax^* = by^* \tag{Rayo}\\
p_x x^* + p_y y^* = m \tag{R.P.}\\
\end{gather}
\]
Resumen
Casi siempre estamos en alguno de tres casos:
Monótonas y estrictamente convexas. Igualamos TMS al precio relativo sobre la R.P.
Sustitutos perfectos. La canasta óptima es una solución de esquina, o toda la R.P, dependiendo de la relación entre TMS y precio relativo.
Complementos perfectos. La canasta óptima es la intersección del rayo y la R.P.
Ejercicios
Ejercicio 1 (Parcial 2017)
Considere un consumidor con preferencias monótonas y estrictamente convexas. Suponga que \(P_2=16, P_1=20\) y \(M=188\). Considere la siguiente tabla que muestra canastas de consumo posibles \(\left(q_1 ; q_2\right)\), y la tasa marginal de sustitución de \(q_1\) con respecto a \(q_2\) que provee cada canasta. ¿Cuál es la canasta óptima?
Ejercicio 1 (Parcial 2017)
\(q_1\)
\(q_2\)
\(\operatorname{TMS}_{\{1,2\}}\)
1
12
5.35
2
10
4.25
3
9
3.1
4
6
3.1
5
5
1.7
6
4
1.25
7
3
1.25
8
2
1.1
10
1
0.75
\((3, 9)\)
\((5, 5)\)
\((7, 3)\)
Otra canasta
Falta información.
Ejercicio 2 (Parcial 2012)
Ana va a la panadería a comprar algo para la merienda. Ana considera una docena de facturas o una tarta de ricotta como bienes perfectamente sustitutos con TMS = 1. La última vez que había ido a la panadería, ella había optado por comprar la tarta de ricotta, dado que sólo costaba \(\$ 20\). Esta vez, cuando Ana llega a la panadería, se encuentra con que el precio de la tarta de ricotta ha aumentado a \(\$ 26\), mientras que el precio de las facturas no se ha modificado: siguen costando \(\$ 28\) la docena. Dado que Ana es una persona racional, ¿qué hará?
Negarse a pagar más cara la tarta de ricotta, y comprar la docena de facturas.
Dado que las dos son opciones válidas, pero como ahora la tarta está más cara que antes, comprará media docena de facturas y media tarta.
Seguirá comprando la tarta de ricotta.
No sabemos, porque las dos opciones son válidas y Ana es libre de hacer lo que le plazca.
Ejercicio 3 (Parcial 2015)
Suponga que usted tiene un amigo que sólo come asado o sushi. Su amigo le dice que, dada su actual canasta de consumo, en la que gasta todo su ingreso disponible, él se mantendría en el mismo nivel de utilidad si sustituyera un asado por una cena de sushi (o viceversa). Suponga que el precio relativo entre un asado y la cena con sushi es \(\frac{p_A}{p_S}=\frac{1}{3}\). Usted, que está entrenado para tomar decisiones racionales, debería recomendarle a su amigo que:
Consuma menos asado y más sushi.
Consuma más asado y menos sushi.
No cambie su canasta de consumo.
No puede maximizar su utilidad dados los precios del sushi y del asado.
No hay suficiente información para responder esta pregunta.
Ejercicio 4
Encuentre gráficamente el óptimo para las preferencias representadas por el siguiente mapa de indiferencia.
