Costos, parte II

Economía I

Felipe Tappata

28 de mayo de 2025

Introducción

Clase pasada

  • Analizamos la curva de costo de corto plazo
  • Descomposición de costo en costos fijos y variables
  • \(\operatorname{CMg}\), \(\operatorname{CMe}\), \(\operatorname{CMeV}\), \(\operatorname{CMeF}\)
  • Relación entre \(\operatorname{CMg}\) y \(\operatorname{CMe}\)
  • Estructura de costos “típica”
  • Relación entre productividad y costo

Clase de hoy

  • Vamos a ver la relación entre corto y largo plazo.
  • Una idea clave es que en el largo plazo siempre se puede estar tan bien como en el corto plazo.
  • También vamos a ver el concepto de rendimientos a escala.
  • De nuevo llamamos \(L\) (trabajo) al insumo variable y \(K\) (capital) al insumo fijo en el corto plazo.

Largo plazo

Decisiones de la firma

  • Corto plazo
    • La firma puede ajustar factores variables
    • Cuando hay un solo factor variable, hay una única forma de producir una determinada cantidad (definida por \(f(L) = q\)).1
  • Largo plazo
    • La firma puede ajustar todos los factores de producción
    • La pregunta no es solo cuánto producir, sino también cómo producir.

Relevancia del costo medio

El costo medio es un dato particularmente importante porque los beneficios \[ \Pi(q) = pq - C(q) \] se pueden reescribir, sacando como factor común \(q\), como \[ \Pi(q) = \big(p - \operatorname{CMe}(q)\big) q, \] donde \(p - \operatorname{CMe}(q)\) es el beneficio por unidad producida

Idea

  • Si la firma quiere producir una determinada cantidad \(q\), en el largo plazo hay una combinación óptima de \(L\) y \(K\), en el sentido que se produce \(q\) al menor costo posible.
  • En el corto plazo, el capital está fijo en una cantidad \(\bar{K}\) que no necesariamente es la óptima, y por lo tanto en general le costará más producir \(q\).
  • Vamos a ver, entonces, que \(\operatorname{CMe}^{LP} \leq \operatorname{CMe}^{CP}\).
  • De otra manera, el costo medio de largo plazo no puede ser mayor al de corto plazo porque siempre se puede elegir \(K = \bar{K}\).

Dos niveles de capital

  • En general, se elige \(K \in \mathbb{R}^+\), pero hacemos una primera aproximación pensando que la firma solo puede elegir \(K_1\) o \(K_2\), con \(K_1 > K_2\).
  • Para cada nivel de capital hay una curva de costos de corto plazo, que vamos a asumir que tiene la forma típica de U.

Gráfico: dos niveles de K

Costo medio de corto plazo para dos niveles de capital

Intuición: dos niveles de K

  • Para valores bajos de \(K\), el costo medio asociado con más capital es más alto por el costo fijo.
  • Para valores altos de \(K\) es al revés, con más capital, el trabajo es más productivo y el menor costo medio variable empieza a dominar.
  • Si la firma quiere producir una cantidad \(q\), mira el anterior gráfico y elige el nivel de capital que para esa cantidad tiene menor costo.

Gráfico: costo medio de largo plazo

Costo medio de largo plazo

Segunda aproximación: tres niveles

  • Acercándonos más al caso de infinitos niveles posibles de capital, dejemos elegir a la firma entre tres niveles de capital, \[ K_2 < K_1 < K_3 \]

Gráfico: tres niveles de K

Costo medio de largo plazo con tres niveles de K

Intuición: tres niveles de K

  • La idea es la misma: para cada nivel de producción, el costo medio de largo plazo es el costo medio de corto plazo que corresponde al mejor nivel de capital para producir esa cantidad.
  • La curva de costo medio de largo plazo envuelve las curvas de costo medio de corto plazo

Capital continuo

  • Ahora dejamos que \(K\) sea cualquier número real positivo.
  • Podemos pensar en infinitas curvas de costo medio de corto plazo, de manera que todo \(q\) se da en el mínimo de alguna de ellas.

Gráfico: K continuo

Costo medio de largo plazo con K continuo

Costo medio de largo plazo

  • El costo medio de largo plazo es la envolvente inferior de las curvas de costo medio de corto plazo; reúne los mínimos de las curvas de costo medio de corto plazo.
  • Para moverse de un punto a otro, hay que variar todos los factores en general.
  • Puede haber un costo fijo en el largo plazo?

Rendimientos a escala

Economías de escala

  • Algunos procesos productivos exhiben lo que se conoce como economías de escala: costos medios decrecientes en cantidad.
  • Por ejemplo, lo que cuesta producir 100,000 autos no es 100,000 veces lo que cuesta producir un auto, sino mucho menos.
  • Posibles causas:
    • Especialización de trabajo
    • Costos fijos
    • Tecnologías solo aplicables a gran escala

Rendimientos a escala

  • Generalizamos la idea de economías a escala a la idea de rendimientos a escala
  • Rendimientos crecientes a escala. Costo medio decreciente, costo marginal decreciente, curva de costo cóncava.
  • Rendimientos constantes a escala. Costo medio constante, costo marginal constante, curva de costo lineal.
  • Rendimientos decrecientes a escala. Costo medio creciente, costo marginal creciente, curva de costo convexa.

Rendimientos crecientes a escala

Curvas de costo con rendimientos crecientes a escala

Rendimientos constantes a escala

Curvas de costo con rendimientos constantes a escala

Rendimientos decrecientes a escala

Curvas de costo con rendimientos decrecientes a escala

Gráfico: diferentes rendimientos

Costo medio con rendimientos diferentes para cantidades diferentes

Definición formal de rendimientos a escala

  • La definición más formal tiene que ver con \(f\).

Definición (Rendimientos a escala)

Sea \(f(x_1, x_2, \ldots, x_n)\) una función de producción.

  • \(f\) tiene rendimientos crecientes a escala (IRS) si para todo \(t > 1\), \(f(tx_1, tx_2, \ldots, tx_n) > t f(x_1, x_2, \ldots, x_n)\).
  • \(f\) tiene rendimientos constantes a escala (CRS) si para todo \(t > 0\), \(f(tx_1, tx_2, \ldots, tx_n) = t f(x_1, x_2, \ldots, x_n)\).
  • \(f\) tiene rendimientos decrecientes a escala (DRS) si para todo \(t > 1\), \(f(tx_1, tx_2, \ldots, tx_n) < t f(x_1, x_2, \ldots, tx_n)\).

Intuición

  • Los rendimientos a escala responden a la pregunta:

    Qué pasa si aumento en la misma proporción a todos los insumos?

  • Si la producción aumenta en la misma proporción, CRS.

  • Si aumenta en una proporción mayor, IRS.

  • Si aumenta en una proporción menor, DRS.

Equivalencia

  • Podemos relacionar la definición de rendimientos a escala de la función de producción con la forma de la curva de costo medio.

Proposición (Rendimientos a escala y costo medio)

Sea \(f\) una función de producción y \(\operatorname{CMe}(q)\) la función de costo medio asociada. \[ \begin{array}{lcl} f\text{ tiene CRS } &\iff& \operatorname{CMe}(q) \text{ es constante} \\ f\text{ tiene IRS } &\iff& \operatorname{CMe}(q) \text{ es decreciente} \\ f\text{ tiene DRS } &\iff& \operatorname{CMe}(q) \text{ es creciente} \end{array} \]

Rendimientos de corto plazo

  • Está implícito en la definición que estamos hablando del largo plazo, pero si definimos la función de producción de corto plazo \[ f^{CP}(L) = f(L, \bar{K}),\] donde \(\bar{K}\) es el capital fijo, entonces podemos definir rendimientos a escala para el corto plazo de la misma manera.
  • Por ejemplo, si \(f^{CP}(tL) = f(tL, \bar{K}) < tf(L, \bar{K}) = t f^{CP}(L)\), entonces hay DRS en el corto plazo.

Ejercicio: Cobb-Douglas

Calcule los rendimientos a escala y rendimientos a escala de corto plazo de la función de producción

\[ f(L, K) = K^{0.8} L^{0.2}. \]

Atajo Cobb-Douglas

  • Hay una forma rápida de ver los rendimientos a escala de una función de producción Cobb-Douglas, sumando los exponentes.

Proposición (Rendimientos a escala, Cobb-Douglas)

Sea \(f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = A x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} \cdots x_n^{\alpha_n}\) una función de producción Cobb-Douglas. \[ \begin{array}{lcl} f\text{ tiene CRS } &\iff& \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n = 1 \\ f\text{ tiene IRS } &\iff& \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n > 1 \\ f\text{ tiene DRS } &\iff& \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n < 1 \end{array} \]

Ejercicios

Ejercicio 1 (Final 2013)

Caracol SA produce casas prefabricadas, utilizando la siguiente función de producción: \(F(K, L)=K^{0.3} L^{0.5}\). ¿Cuál de los siguientes gráficos podría corresponder a la función de costo medio de largo plazo?

  1. Gráfico 1.
  2. Gráfico 2.
  3. Gráfico 3.
  4. Gráfico 4.
  5. No hay suficiente información para contestar la pregunta.

Ejercicio 1 (Final 2013)

Gráficos de costo medio

Ejercicio 2 (Final 2017)

La Firma “Dulces de Tafí” cuenta con 3 insumos, además del membrillo, para elaborar su único producto de venta “dulces de membrillo”: mano de obra (trabajadores para la recolección del fruto y el posterior empaque del producto), capital (instalaciones, molino y demás maquinarias) y los envases necesarios para el empaque. Suponga que “Dulces de Tafí” debe utilizar seis veces más de cada insumo para producir 4 veces más de dulces. Bajo este supuesto, la función de producción:

  1. Tiene rendimientos constantes a escala.
  2. Tiene proporciones fijas.
  3. Tiene rendimientos decrecientes a escala.
  4. Tiene rendimientos crecientes a escala.
  5. Las afirmaciones a y b son correctas.

Ejercicio 3 (Final 2017)

Si una firma emplea capital y trabajo para producir un determinado bien y además, su función de producción presenta retornos a escala y rendimientos marginales crecientes, entonces:

  1. La productividad media y marginal del trabajo son decrecientes.
  2. El costo medio y marginal son decrecientes.
  3. La productividad media y marginal del trabajo se intersectan en el punto máximo del producto medio.
  4. Tanto las productividades media y marginal del trabajo son crecientes y los costos medio y marginal decrecientes.
  5. Ninguna de las anteriores.