Maximización de beneficios

Microeconomía

Felipe Tappata

27 de marzo de 2025

Maximización de beneficios

Supuestos

  • Competencia perfecta: firma toma como dados los precios del bien final y de los insumos.
  • La firma no tiene en cuenta su efecto sobre los precios de equilibrio
  • El objectivo de la firma es maximizar sus beneficios

Beneficios

  • Los beneficios (profit), denotados por \(\pi\), son la diferencia entre los ingresos y los costos
  • Formas de escribir beneficios:
    • \(\pi = \text{Ingresos} - \text{Costos}\)
    • \(\pi = P \cdot Q - C(Q)\)
    • \(\pi = (P - C(Q)/Q) Q\)
    • \(\pi = P f(\vec{x}) - C(\vec{x})\)
    • \(\pi = P f(x_1,\ldots, x_n) - w_1 x_1- \cdots - w_n x_n\)

Problema de la firma

Planteamos el problema de maximización de beneficios de la firma como \[ \max_{\vec{x}} \quad pf(\vec{x}) - C(\vec{x}), \] donde \(\vec{x}\) es el vector de insumos usado para producir, \(p\) es el precio del bien final, \(f(\vec{x})\) es la función de producción y \(C(\vec{x})\) es el costo de producir con \(\vec{x}\).

Condiciones de primer orden

  • Queremos maximizar la función \(\pi = pf(\vec{x}) - C(\vec{x})\).
  • En un máximo se tienen que cumplir las condiciones de primer orden: \[ \frac{\partial \pi}{\partial x_i} = 0, \quad \forall i = 1, \ldots, n. \]

CPO: interpretación

  • Usando \(\pi = pf(\vec{x}) - C(\vec{x})\), la CPO nos dice \[ \frac{\partial \pi}{\partial x_i} = p \frac{\partial f(\vec{x})}{\partial x_i} - \frac{\partial C(\vec{x})}{\partial x_i} = 0. \]

  • Es decir, \[ \begin{aligned} p \text{Pmg}_i &= \text{Cmg}_i, \\ \text{Img}_i &= \text{Cmg}_i. \end{aligned} \]

  • La CPO nos dice que el ingreso marginal de \(x_i\) es igual al costo marginal

Condiciones de segundo orden

  • Los puntos críticos donde se cumple la condición de primer orden no necesariamente son máximos.
  • El cumplimiento de la condición de segundo orden garantiza que el punto crítico sea un máximo.
  • En el caso de muchos insumos se vuelve más compleja la CSO, pero si tenemos un único insumo \(x\), es: \[ \frac{\partial^2 \pi}{\partial x^2} < 0. \]

Solución del problema

  • La solución del problema es \(\vec{x}^*\) tal que \[ pf(\vec{x}^*) - C(\vec{x}^*) \geq pf(\vec{x}) - C(\vec{x}) \quad \forall \vec{x}. \]
  • Es decir, un vector de insumos tal que ningún otro vector de insumos genera mayores beneficios

Oferta y demanda

  • La solución del problema es el vector de insumos \(\vec{x}^*\) que maximiza los beneficios.
  • A este vector de insumos lo llamamos la función de demanda de insumos, y es una función de \(p\) y los precios de los insumos.
  • La cantidad \(y^* = f(\vec{x}^*)\) es la cantidad producida que maximiza los beneficios.
  • A esta cantidad la llamamos la función de oferta del producto.

Ejercicios

Ejercicios

  • 2.5 (a)-(d)
  • 2.6

Ejercicio 2.5

Considere el caso de un productor que utiliza sólo un insumo, \(x\), para producir un único producto, \(y\), de acuerdo con la siguiente tecnología de producción: \[ f(x) = x^\alpha, \quad \text{con} \, \alpha \in (0, 1). \]

Ejercicio 2.5 (a)

  1. Determine cómo son los rendimientos a escala y marginales de esta función de producción.

Ejercicio 2.5 (b)

  1. Formule el problema de maximización de beneficios.

Ejercicio 2.5 (c)

  1. Obtenga las funciones de demanda del insumo y de oferta del producto

Ejercicio 2.5 (d)

  1. Verifique que la condición de segundo orden se cumple. ¿Qué rol juega en esto lo que encontró en (a)?

Ejercicio 2.6

Considere la siguiente función de producción \[ f(x_1, x_2) = x_1^\alpha x_2 ^{1 - \alpha} \quad \text{con} \, \alpha \in (0, 1). \]

Ejercicio 2.6 (a)

  1. ¿Son los retornos a escala de \(f\) crecientes, constantes o decrecientes? ¿Son los retornos marginales decrecientes? Verifique ambos resultados de manera algebraica.

Ejercicio 2.6 (b)

  1. Formule el problema de maximización de beneficios de la firma cuando el precio por unidad de output es \(p\) y los precios de los factores son \(w_1\) y \(w_2\) (ambos factores variables).

Ejercicio 2.6 (c)

  1. Derive las condiciones de primer orden del problema de maximización de beneficios planteado en el inciso anterior.

Ejercicio 2.6 (d)

  1. Asuma que \(\left(x_1^*, x_2^*\right)\) es el vector que resuelve las condiciones de primer orden del problema formulado en (b). Multiplique la condición del factor 1 por \(x_1^*\) y la condición para el factor 2 por \(x_2^*\). Sume ambas condiciones ¿Qué le dice esta condición respecto de la maximización de beneficios en \(\left(x_1^*, x_2^*\right)\) ?

Ejercicio 2.6 (e)

  1. La forma de las condiciones de primer orden de d) le permite expresar la (asumida) elección óptima de \(x_1\) y \(x_2\) como una función del nivel de producto. Incorporando esto en la expresión para los beneficios se puede obtener una expresión un tanto engorrosa para los beneficios en función de \(p, w_1, w_2, \alpha\) e \(y\). Sean \(\alpha=1 / 2\) y \(w_1=w_2=1\). ¿Para qué precios del producto \(p\) (si es que existe alguno) hay una solución al problema de maximización de beneficios de la firma? En caso de encontrar tal precio, ¿cuáles son los niveles de producto que resuelven el problema de maximización de beneficios?