Microeconomía
10 de abril de 2025
Definición (Relación binaria)
Una relación binaria \(R\) define una asociación entre elementos de \(X\). Es el conjunto de pares ordenados \((x,y)\) tales que \(x\) tiene dicha asociación con \(y\). Decimos \(x R y\) si \((x,y) \in R\).
Definición (Relación de preferencia)
Dado un conjunto \(X\) de alternativas mutuamente excluyentes, una relación de preferencia \(\succsim\) es una relación binaria en \(X\). Leemos \(x \succsim y\) como “\(x\) es al menos tan bueno como \(y\)”.
Definición (Preferencia estricta)
La relación de preferencia estricta \(\succ\) se define por \[ x \succ y \text{ si y solo si } x\succsim y \text{ pero no } y\succsim x \]
y se lee “\(x\) es preferido (o estrictamente preferido) a \(y\)”.
Definición (Indiferencia)
La relación de indiferencia \(\sim\) se define por \[ x \sim y \text{ si y solo si } x\succsim y \text{ y } y\succsim x \] y se lee “\(x\) es indiferente a \(y\)”.
Definición (Racionalidad)
La relación de preferencias \(\succsim\) es racional si posee las siguientes dos propiedades:
Proposición (Implicaciones de racionalidad)
Si \(\succsim\) es racional, entonces
Definición (Monotonicidad)
La relación de preferencia \(\succsim\) en \(X\) es monótona si \(x \in X\) e \(y \gg x\) implica \(y \succ x\).
Definición (Monotonicidad fuerte)
La relación de preferencia \(\succsim\) en \(X\) es fuertemente monótona si \(x \in X\) e \(y \geq x\) implica \(y \succ x\).
Definición (No saciedad local)
La relación de preferencia \(\succsim\) en \(X\) es localmente no saciada si para cada \(x \in X\) y todo \(\varepsilon > 0\), hay un \(y \in X\) tal que \(\lVert y-x \rVert \leq \varepsilon\) e \(y \succ x\).
Definición (Convexidad)
La relación de preferencia \(\succsim\) en \(X\) es convexa si para todo \(x, y, z \in X\) tales que \(y \succsim x\) y \(z \succsim x\), tenemos que \(\alpha y + (1 - \alpha) z \succsim x\) para cualquier \(\alpha \in (0,1)\).
Definición (Convexidad estricta)
La relación de preferencia \(\succsim\) en \(X\) es estrictamente convexa si para todo \(x, y, z \in X\) tales que \(y \succsim x\), \(z \succsim x\) e \(y \neq z\), tenemos \(\alpha y + (1 - \alpha) z \succ x\) para todo \(\alpha \in (0,1)\).
Definición (Función de utilidad)
Una función \(u:X \to \mathbb{R}\) es una función de utilidad asociada a la relación de preferencia \(\succsim\) si para todo \(x, y \in X\), \[ x \succsim y \text{ si y solo si } u(x) \geq u(y). \]
Proposición
Una relación de preferencias \(\succsim\) puede ser representada por una función de utilidad solo si es racional.
Describa rigurosamente las curvas de indiferencia de las siguientes funciones de utilidad. Analice si las preferencias son monótonas y convexas. Complemente con gráficos el análisis de monotonicidad y convexidad, y explique cómo ha sido el método para la construcción de los gráficos. El análisis mediante definiciones de convexidad y monotonicidad, a la vez que la utilización de álgebra eleva la calidad de su respuesta.
\[ u(x_1, x_2)=x_1+\sqrt{x_2} \]
\[ u(x_1, x_2) = x_1^{1/3}x_2^{2/3} \]
\[ u(x_1, x_2) = 25 + (x_1 + \sqrt{x_2})^2 \]
\[ u(x_1, x_2) = k \min\{2x_1, x_2\} + 3, \text{ para } k > 0 \]
\[ u(x_1, x_2) = -\sqrt{x_1} + x_2 \]
\[ u(x_1, x_2) = -\sqrt{(x_1 - 2)^2 + (x_2 - 4)^2} \]
\[ u(x_1, x_2) = \operatorname{Int}(x_1) + \operatorname{Int}(x_2), \] donde \(\operatorname{Int}(x)\) es la parte entera de \(x\).1
\[ u(x_1, x_2) = \frac{1}{2}\sqrt{x_1} + \frac{1}{2}\sqrt{x_2} \]
\[ u(x_1, x_2) = \frac{1}{2}x_1^2 + \frac{1}{2}x_2^2 \]
Considere la situación que enfrenta el siguiente consumidor. El consumidor está frente a una máquina expendedora de Coca Cola un domingo muy caluroso. Para obtener una Coca de la máquina expendedora, el consumidor debe insertar exactamente una moneda de un peso y dos monedas de diez centavos. Ninguna otra combinación de monedas (ni billetes) puede hacer salir una Coca de la máquina. Ningún otro negocio está abierto, ni puede obtener una Coca de otro lado Este consumidor está tan sediento que lo único que le interesa es cuántas Cocas puede comprar con el cambio que tiene en ese momento en su bolsillo. Cuantas más pueda comprar, mejor.
- Grafique las curvas de indiferencia de este consumidor entre Coca Cola y el resto de los bienes en el momento arriba descripto.
- Proponga una función de utilidad para este consumidor.
- Proponga otra función de utilidad diferente de la propuesta en (b) para el consumidor.
Tres amigos, Agustín (\(A\)), Bruno (\(B\)) y Carlos (\(C\)) se encuentran a cenar y deben decidir qué hacer por el resto de la noche. Agustín quiere ir a una fiesta electrónica en la Costanera (\(F\)). Bruno prefiere un lugar más tranquilo, quisiera que fueran a un bar en Palermo (\(P\)). Carlos quiere navegar el domingo (\(N\)), por lo que prefiere volver a dormir apenas terminada la cena. Ante las opciones disponibles cada uno expresa su orden de preferencias:
\[ \begin{aligned} \text{Agustín: } & F \succ_a P \succ_a N\\ \text{Bruno: } & P \succ_b N \succ_b F\\ \text{Carlos: } & N \succ_c F \succ_c P \end{aligned} \]
Note que las preferencias de cada uno de ellos son racionales. Para decidir entre las opciones deciden realizar una votación.
- Carlos propone que voten primero entre \(F\) y \(P\) y luego entre la opción ganadora y \(N\). ¿Qué opción gana en la primera votación y qué opción gana en la segunda votación?
- Agustín piensa que el resultado no es aceptable y propone que se vote primero entre \(N\) y \(P\) y luego, entre la opción ganadora y \(F\). ¿Cuál es el resultado de la votación?
- ¿Cuál es el problema que presentan estas preferencias cuando se agregan?
Describa y grafique cuidadosamente las curvas de indiferencia correspondientes a las siguientes funciones de utilidad. Explicite, a su vez, si las preferencias son monótonas y/o convexas justificando adecuadamente su respuesta.
- \(u(x_1, x_2)=(x_1+x_2)^2\)
- \(u(x_1, x_2)=x_1^2+x_2^2\)
- \(u(x_1, x_2)=\max \{a x_1, b x_2\}, a, b>0\)
- \(u(x_1, x_2)=\ln [x_1+v(x_2)]\), con \(v(\cdot)\) estrictamente cóncava y estrictamente creciente.
Julieta odia la historia y la economía. Cuanto más tiempo pasa estudiando cualquiera de esas dos materias, más se aburre. Sin embargo, las preferencias de Julieta entre historia y economía son estrictamente convexas. Grafique curvas de indiferencia que sean coherentes con las preferencias de Julieta. ¿Son las curvas de indiferencia convexas? Explique su respuesta gráfica e intuitivamente.
A un prestigioso profesor de una universidad se le ha facilitado un presupuesto de $2000 para investigación. Por simplicidad suponga que el dinero solo puede usarse para fotocopias y para estampillado. El decano del departamento piensa que no es conveniente cobrar por gastos en fotocopias inferiores a las 4000 páginas. Pero si son más de 4000 páginas entonces se cobra 10 centavos por copia (incluso para las primeras 4000). Suponga que estampillar cada carta cuesta 33 centavos y se cobrará ese valor incluso para la primera carta. Dibuje el conjunto de consumo factible. (Ayuda: ignore la posibilidad de envío De 1/3 de carta y también si considera necesario cambie la escala para eliminar los posibles ceros.)
Considere la situación que enfrenta el siguiente individuo. Este individuo posee 10 unidades del bien 1 y 20 unidades del bien 2. Para el análisis suponga que los bienes 1 y 2 son los únicos bienes que el individuo en cuestión consume.
- Asuma que 2 unidades del bien 1 pueden intercambiarse por 3 unidades del bien 2. Describa y grafique cuidadosamente el conjunto presupuestario de este individuo (Obs: “Cuidadosamente” significa que debe indicar todas las pendientes, ordenadas y abscisas al origen en el gráfico).
- Muestre cómo se modifica el conjunto presupuestario anterior en el caso de que una unidad del bien 1 pueda comercializarse por una unidad del bien 2.
Durante las guerras los gobiernos han recurrido a menudo al racionamiento. Esa práctica también se ha usado en economías planificadas cuando los objetivos de producción no se alcanzaban. En EE.UU., durante la Segunda Guerra Mundial se racionaron, entre otros bienes, la carne, la manteca, el queso y la leche en polvo. Cada familia recibía un ingreso en puntos de racionamiento que podía gastar por mes, y cada bien tenía un precio en puntos de racionamiento así como un precio en dólares.
- En tales circunstancias, ¿estaban las decisiones de las familias sujetas a más de una restricción de presupuesto? ¿Cuáles?
- Para familias muy pobres, ¿puede darse el caso de que sólo una restricción sea relevante?
- Si ambas restricciones fueran relevantes, ¿en qué punto de qué restricción de presupuesto se ubicaría la familia bajo análisis?
Eugenio es un músico independiente. No tiene efectivo, pero en cambio posee 10 CD que él grabó. Además posee 15 latas de Coca Cola que le dejó su madre en la heladera cuando vino a visitarlo. Eugenio sólo consume CDs y Coca, donde por simplicidad imaginamos que los CDs son un bien homogéneo. Eugenio puede comprar y vender CDs por 10 pesos y puede comprar Coca por 2 pesos (no puede fabricar ni vender Coca Cola).
- Grafique cuidadosamente el conjunto de consumo de Eugenio.
- Ahora suponga que el codicioso dueño del negocio donde vende sus CD, sólo le da 5 dólares or cada CD cuando los vende (aunque el todavía tiene que pagar 10 pesos por cada CD que compra). Describa el nuevo conjunto de consumo.