Microeconomía
22 de abril de 2025
Definición (Conjunto presupuestario)
Dado un vector de precios \(\vec{p}=(p_1,p_2,\ldots,p_L)\) y un ingreso \(m\), el conjunto presupuestario es \[ \mathcal{B}(\vec{p},m)=\{\vec{x} \in \mathbb{R}^L_+ : \vec{p} \cdot \vec{x} \leq m\} \]
Definición (Recta presupuestaria)
Dado un vector de precios \(\vec{p}=(p_1,p_2,\ldots,p_L)\) y un ingreso \(m\), la recta presupuestaria es \[ \mathcal{R}(\vec{p},m)=\{\vec{x} \in \mathbb{R}^L_+ : \vec{p} \cdot \vec{x} = m\} \]
El problema de maximización de utilidad es \[ \begin{array}{cl} \displaystyle \max_{\vec{x}} & U(\vec{x}) \\ \text{sujeto a} & \vec{p} \cdot \vec{x} \leq m, \end{array}\tag{UMP} \] donde \(\vec{x}\) es el vector de consumo, \(\vec{p}\) es el vector de precios y \(m\) es el ingreso del consumidor.1
La solución del problema de maximización de utilidad será una canasta que depende de los precios y el ingreso, que llamaremos demanda (o demanda marshalliana, o walrasiana para distinguirla de la demanda hicksiana que veremos más adelante).
Definición (Demanda marshalliana)
Para un consumidor, la demanda marshalliana es la solución a UMP, que denotamos
\[ x(\vec{p},m) = x^*(\vec{p},m) = x^M(\vec{p},m) = (x_1(\vec{p}, m), \ldots, x_L (\vec{p}, m)). \]
Proposición (Ley de Walras)
Si la relación de preferencias del consumidor cumple no saciedad local, entonces la solución al problema del maximización de utilidad, \(\vec{x}^*\), cumple \[ \vec{p} \cdot \vec{x}^* = m. \]
Cuando las preferencias son monótonas, el UMP se puede escribir \[ \begin{array}{cl} \displaystyle \max_{\vec{x}} & U(\vec{x}) \\ \text{sujeto a} & \vec{p} \cdot \vec{x} = m, \end{array} \] que es un problema restringido que se puede resolver usando los métodos que conocemos.
Advertencia
El método de Lagrange sirve para encontrar soluciones interiores, bajo ciertas condiciones sobre el problema. En particular, no es la forma de la que resolvemos con preferencias de sustitutos perfectos (soluciones de esquina) o complementos perfectos (función no diferenciable).
A un prestigioso profesor de una universidad se le ha facilitado un presupuesto de $2000 para investigación. Por simplicidad suponga que el dinero solo puede usarse para fotocopias y para estampillado. El decano del departamento piensa que no es conveniente cobrar por gastos en fotocopias inferiores a las 4000 páginas. Pero si son más de 4000 páginas entonces se cobra 10 centavos por copia (incluso para las primeras 4000). Suponga que estampillar cada carta cuesta 33 centavos y se cobrará ese valor incluso para la primera carta. Dibuje el conjunto de consumo factible. (Ayuda: ignore la posibilidad de envío De 1/3 de carta y también si considera necesario cambie la escala para eliminar los posibles ceros.)
Considere la situación que enfrenta el siguiente individuo. Este individuo posee 10 unidades del bien 1 y 20 unidades del bien 2. Para el análisis suponga que los bienes 1 y 2 son los únicos bienes que el individuo en cuestión consume.
- Asuma que 2 unidades del bien 1 pueden intercambiarse por 3 unidades del bien 2. Describa y grafique cuidadosamente el conjunto presupuestario de este individuo (Obs: “Cuidadosamente” significa que debe indicar todas las pendientes, ordenadas y abscisas al origen en el gráfico).
- Muestre cómo se modifica el conjunto presupuestario anterior en el caso de que una unidad del bien 1 pueda comercializarse por una unidad del bien 2.
Durante las guerras los gobiernos han recurrido a menudo al racionamiento. Esa práctica también se ha usado en economías planificadas cuando los objetivos de producción no se alcanzaban. En EE.UU., durante la Segunda Guerra Mundial se racionaron, entre otros bienes, la carne, la manteca, el queso y la leche en polvo. Cada familia recibía un ingreso en puntos de racionamiento que podía gastar por mes, y cada bien tenía un precio en puntos de racionamiento así como un precio en dólares.
- En tales circunstancias, ¿estaban las decisiones de las familias sujetas a más de una restricción de presupuesto? ¿Cuáles?
- Para familias muy pobres, ¿puede darse el caso de que sólo una restricción sea relevante?
- Si ambas restricciones fueran relevantes, ¿en qué punto de qué restricción de presupuesto se ubicaría la familia bajo análisis?
Eugenio es un músico independiente. No tiene efectivo, pero en cambio posee 10 CD que él grabó. Además posee 15 latas de Coca Cola que le dejó su madre en la heladera cuando vino a visitarlo. Eugenio sólo consume CDs y Coca, donde por simplicidad imaginamos que los CDs son un bien homogéneo. Eugenio puede comprar y vender CDs por 10 pesos y puede comprar Coca por 2 pesos (no puede fabricar ni vender Coca Cola).
- Grafique cuidadosamente el conjunto de consumo de Eugenio.
- Ahora suponga que el codicioso dueño del negocio donde vende sus CD, sólo le da 5 dólares or cada CD cuando los vende (aunque el todavía tiene que pagar 10 pesos por cada CD que compra). Describa el nuevo conjunto de consumo.
Suponga que para algún \(a>0\) y \(b>0\) un consumidor tiene preferencias representadas por la función de utilidad \(U\left(x_1, x_2\right)=x_1^a x_2^b\). Su ingreso es \(m\) y los precios en el mercado están dados por \(p_1\) y \(p_2\), respectivamente.
- Para \(m=10, p_1=5\) y \(p_2=1\), dé un ejemplo de una canasta que pertenezca al conjunto de presupuesto pero no a la recta de presupuesto. ¿Puede esta canasta ser una elección óptima del consumidor? ¿Por qué?
- Dados los parámetros \(\left(m, p_1, p_2\right)\) :
- ¿Qué canastas pertenecen al conjunto de consumo?
- ¿Qué canastas pertenecen al conjunto de consumo, pero no a la recta presupuestaria?
- ¿Qué canastas están sobre la recta presupuestaria?
- Dadas las preferencias consideradas, ¿existen conjuntos dentro del conjunto de consumo que se podrían eliminar, a priori, como posibles canastas de consumo óptimo?
- ¿Cambiaría su respuesta al punto b) si \[ U\left(x_1, x_2\right)=15-\left(1-x_1\right)^2-\left(2-x_2\right)^2 \] fuese la función de utilidad?
- ¿Es posible suponer que \(b=1-a\) ? ¿Por qué? ¿Por qué querría hacer tal supuesto?
Tome el ejercicio anterior y suponga que \(a=b=1, m=10, p_1=1\) y \(p_2=5\).
- ¿El consumidor racional consumirá todo su ingreso o no? ¿Por qué?
- Use la restricción presupuestaria para reexpresar la función de utilidad en términos de un solo bien.
- Grafique la función que obtuvo en b), con la utilidad en un eje y el consumo del bien restante en el otro. Explique qué parámetro en las preferencias proporciona la forma particular de la función.
- Suponga que \((x_1^*, x_2^*)\) es la canasta óptima para el consumidor. ¿Qué condición debe cumplir la derivada de la función que reexpresáramos anteriormente y por qué?
- Calcule \((x_1^*, x_2^*)\).
Ahora suponga que las preferencias están representadas por \(U\left(x_1, x_2\right)=x_1+\ln \left(x_2\right)\), el ingreso es \(m\) y los precios están dados \(p_1\) y \(p_2\).
- Dibuje cuidadosamente las curvas de indiferencia para estas preferencias. En particular, sea cuidadoso con las pendientes cerca de los ejes.
- Formule el problema de elección del consumidor y escriba las condiciones necesarias para una solución interior (condiciones de primer orden). ¿Será esta solución siempre interior? Si \(p_1=p_2=1\), ¿qué nivel de ingreso es necesario para obtener una solución interior? ¿Puede describir condiciones más generales?
Suponga que \(U\left(x_1, x_2\right)=2 x_1+x_2\), precios dados \(p_1\) y \(p_2\) e ingreso \(m=20\).
- Formule el problema de elección del consumidor y escriba el problema reducido en función de una sola variable. Explique como solucionarlo.
- Suponga que existe una solución interior al problema de elección. ¿Qué debe verificarse entonces con respecto a \(p_1\) y \(p_2\) ? Si la solución es interior, ¿Cuántas soluciones hay? (Ayuda: ilústrelo).
- Bajo qué condición la elección óptima del consumidor es consumir sólo \(x_1\). Bajo qué condición la elección óptima del consumidor es consumir sólo \(x_2\). ¿Cuál es la solución más probable con este tipo de preferencias, soluciones de esquina o interiores?
- Suponga que \(p_1=4\) y \(p_2=2\). Justifique que es óptimo para el consumidor elegir la canasta \(\left(x_1, x_2\right)=(4,2)\).
- Suponga ahora que \(p_2\) aumenta a \(p_2^{\prime}=3\). ¿Cómo cambia la canasta óptima? Para el bien 2, ¿Qué parte de este cambio se debe al efecto sustitución y cuál al efecto ingreso? Explique.