Microeconomía
25 de abril de 2025
“El martes 22 a las 13, los estudiantes que no completaron la encuesta recibieron un recordatorio en sus casillas de UTDT con asunto ‘Encuestas para charlas’ y el link para contestar la encuesta”.
\[ \max_{x_1, \ldots, x_n} \quad p f(x_1, \ldots, x_n) - w_1 x_1 - \cdots - w_n x_n \]
\[ \begin{array}{cl} \displaystyle \max_{x_1, \ldots, x_n} & w_1 x_1 + \cdots + w_n x_n \\ \text{s. a} & f(x_1, \ldots, x_n) = y \\ \end{array} \]
Solemos tener funciones de alguna de las siguientes formas:
… pero no siempre. En los exámenes suelen aparecer funciones raras. Hay que estar atento y tratar de razonar.
Considere la firma con función de producción \[ f(x_1, x_2) = A x_1^\alpha x_2^\beta \] con \(A > 0\), \(\alpha \in (0, 1)\), y \(\alpha + \beta = 1\). El precio del bien final \(y\) es \(p\) y los precios de los insumos son \(w_1\) y \(w_2\).
- Calcule:
- Retornos a escala de \(f(\cdot)\)
- Producto marginal de \(x_1\) y \(x_2\) (son crecientes o decrecientes?)
- Obtenga:
- Demandas condicionadas de insumo
- Función de costo
- Obtenga:
- Costo fijo
- Costo variable
- Costo medio (y CF medio y CV medio)
- Costo marginal
- A partir de lo encontrado en (c), verifique los retornos a escala de la función. Justifique adecuadamente.
- Plantee el problema de maximización de beneficios de dos formas:
- Eligiendo \(x_1\) y \(x_2\) como variables de decisión.
- Eligiendo \(y\) como variable de decisión.
Considere la firma con función de producción \[ f(x_1, x_2) = \min(a_1 x_1, a_2 x_2) \] con \(a_1, a_2 > 0\). El precio del bien final \(y\) es \(p\) y los precios de los insumos son \(w_1\) y \(w_2\). Repita el Ejercicio 1 para esta función de producción.
Considere la firma con función de producción \[ f(x_1, x_2) = a_1 x_1 + a_2 x_2 \] con \(a_1, a_2 > 0\). El precio del bien final \(y\) es \(p\) y los precios de los insumos son \(w_1\) y \(w_2\). Repita el Ejercicio 1 para esta función de producción.
(25 puntos) Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique cada respuesta en no más de 5 líneas (adicionalmente puede usar gráficos). No se asignará puntaje si la justificación es incorrecta.
- Las demandas marshallianas de la función de utilidad \(u\left(x_1, x_2\right)=3 x_1+4 x_2+x_1 x_2\) tendrán soluciones de esquina. De hecho, para un ingreso \(m=100\) y precio del bien 1 \(p_1=20\), cuando \(p_2>60\) el individuo no consume el bien 2.
- En el centro de una ciudad hay 100 departamentos iguales que se destinan a alquileres mensuales para estudiantes. Esta oferta es fija: los departamentos no pueden destinarse a otro uso que el alquiler a estudiantes y en el corto plazo no puede haber más departamentos para alquilar. La demanda de alquiler tiene pendiente negativa. En equilibrio, precio del alquiler es es de $1000 y ningún departamento queda vacante a ese precio. La decisión del gobierno de darle a cada estudiante que alquila un subsidio de $200 será una mejora en el bienestar de los estudiantes en el corto plazo.
- Si las preferencias son homotéticas entonces la curva de Engel será una recta que sale del origen.
- Si la función de costos de una firma competitiva es \(c\left(w_1, w_2, q\right)=2 q^2 w_1^{\frac{1}{2}} w_2^{\frac{1}{2}}\) entonces las demandas no condicionadas de factores serán \(x_1^*=\left(\frac{p}{4}\right)^2 w_1^{\frac{1}{2}} w_2^{\frac{1}{2}}\) y \(x_2^*=\left(\frac{p}{4}\right)^2 w_1^{\frac{1}{2}} w_2^{\frac{1}{2}}\).
- Si para unas preferencias la relación de preferencia débil \(\succsim\) es completa y transitiva entonces la relación de indiferencia \(\sim\) y la relación de preferencia estricta \(\succ\) serán completas y transitivas.
Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique cada respuesta en no más de 5 líneas (adicionalmente puede usar gráficos). No se asignará puntaje si la justificación es incorrecta.
- La función de utilidad de Alberto sobre dos bienes es \(u_A(x, y)=x y\). La función de utilidad de Beatriz es \(u_B(x, y)=(x y)^2+\alpha(\ln x+\ln y)\), con \(\alpha>1\). Alberto y Beatriz tienen las mismas preferencias ya que la función de utilidad de Beatriz es una transformación monótona creciente de la de Alberto.
- Si la solución al problema de Lagrange de minimización de costos de la firma en el largo plazo (sin costos fijos) es \[ \begin{aligned} x_1^c\left(w_1, w_2, y\right) & =\frac{y}{\left(w_1\left(w_1^{-1}+w_2^{-1}\right)\right)^2} \\ x_2^c\left(w_1, w_2, y\right) & =\frac{y}{\left(w_2\left(w_1^{-1}+w_2^{-1}\right)\right)^2} \\ \mu^c\left(w_1, w_2, y\right) & =\frac{1}{\left(w_1^{-1}+w_2^{-1}\right)} \end{aligned} \] entonces su oferta de largo plazo será \(y=\frac{p^2}{w_1 w_2}\).
- La función de producción \(f\left(x_1, x_2\right)=\left(\min\left\{x_1, x_2\right\}\max\left\{x_1, x_2\right\}\right)^\alpha\) tiene retornos decrecientes a escala cuando \(\alpha<1\).
- Los economistas de una consultora de recursos humanos encontraron que la función de ganancias de largo plazo de una importante firma es \[ \pi=\frac{p^4}{10\left(5 w_1+50\right)^3} \] donde \(p\) es el precio de su producto y \(w_1\) es el costo laboral por trabajador. Saben que el precio es \(p=10\). Anticipan que el costo laboral aumentará y quisieran saber cómo afectará este cambio sobre la demanda de trabajadores de la firma, pero con su estimación es imposible obtener esta predicción.
(estudien)