Microeconomía
8 de mayo de 2025
Definición (Utilidad indirecta)
Dadas las demandas \(\vec{x}^*(\vec{p}, m)\) que resuelven el problema de maximización de utilidad del consumidor, la utilidad indirecta se define como
\[ v(\vec{p}, m) = u(\vec{x}^*(\vec{p}, m)). \]
Proposición (Propiedades de la utilidad indirecta)
Si \(u(\cdot)\) es continua y representa preferencias localmente no saciadas, la función de utilidad indirecta es:
Proposición (Identidad de Roy)
Sea \(u(\cdot)\) continua, representando preferencias localmente no saciadas y estrictamente convexas. Si \(v(\vec{p}, m)\) es diferenciable en un punto \((\vec{p}, m)\), entonces la demanda marshalliana del bien \(x_k\) es \[ x_k(\vec{p}, m) = -\frac{\partial v(\vec{p}, m) / \partial p_k}{\partial v(\vec{p}, m) / \partial m}. \]
Definición (Tasa marginal de sustitución)
La tasa marginal de sustitución del bien \(x_\ell\) por el bien \(x_k\) en el punto \(\vec{x}\) se define como \[ \operatorname{TMS}_{\ell k}(\vec{x}) = \frac{\partial u(\vec{x})/\partial x_\ell}{\partial u(\vec{x})/\partial x_k} = \frac{\operatorname{UMG}_\ell}{\operatorname{UMG}_k}. \]
Definición (Bien ordinario)
Decimos que el bien \(x_k\) es ordinario en un punto \((\vec{p}, m)\) si \(\partial x_k(\vec{p}, m) / \partial p_k < 0\). Es decir, si la demanda de \(x_k\) disminuye cuando su precio aumenta.
Definición (Bien Giffen)
Decimos que el bien \(x_k\) es Giffen en un punto \((\vec{p}, m)\) si \(\partial x_k(\vec{p}, m) / \partial p_k > 0\). Es decir, si la demanda de \(x_k\) aumenta cuando su precio aumenta.
Definición (Bien normal)
Decimos que el bien \(x_k\) es normal en un punto \((\vec{p}, m)\) si \(\partial x_k(\vec{p}, m) / \partial m > 0\). Es decir, si la demanda de \(x_k\) aumenta cuando el ingreso aumenta.
Definición (Bien inferior)
Decimos que el bien \(x_k\) es inferior en un punto \((\vec{p}, m)\) si \(\partial x_k(\vec{p}, m) / \partial m < 0\). Es decir, si la demanda de \(x_k\) disminuye cuando el ingreso aumenta.
Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique en no más de 5 líneas (adicionalmente puede usar gráficos). No se asignará puntaje si la justificación es incorrecta.
- Considerando una restricción presupuestaria típica, podemos decir que un incremento de un \(20 \%\) tanto del ingreso \(m\) como de los precios \(p_1\) y \(p_2\) puede empeorar el bienestar del consumidor si las preferencias no son monótonas.
- Si una firma tiene la siguiente función de producción: \(f\left(x_1, x_2\right)=\left(\max \left\{x_1, x_2\right\}\right)^{0.25}\), entonces para alcanzar un determinado nivel de producto con el menor costo posible, la decisión óptima de la firma será demandar ambos insumos en la misma proporción.
- Si las preferencias del consumidor A son representadas por la función de utilidad \(U_A\left(x_1, x_2\right)=e^{x_1+2 x_2}+9\), y las del consumidor B por la función de utilidad \(U_B\left(x_1, x_2\right)=5\left(x_1+2 x_2\right)\), entonces A y B tienen las mismas preferencias.
- Si una firma tomadora de precios tiene rendimientos constantes a escala entonces para cualquier precio le da lo mismo producir que no hacerlo.
- Dada la función de costos \(C\left(w_1, w_2, q\right)=2\left(w_1 w_2 q\right)^{1/2}\) podemos asegurar que la demanda condicionada del insumo 1 es \(x_1^c\left(w_1, w_2, q\right)=(w_2 q / w_1)^{1/2}\).
Suponga que el consumidor tiene preferencias dadas por
\[ U\left(x_1, x_2\right)=\frac{1}{3} \ln \left(x_1\right)+\frac{2}{3} \ln \left(x_2\right) \]
Asuma además que su ingreso es \(m\) y los precios en el mercado están dados por \(p_1\) y \(p_2\).
- Describa el problema de maximización del consumidor.
- Obtenga las funciones de demanda de ambos bienes.
- Suponga que \(p_1=p_2=1\). Para cada bien, dibuje cuidadosamente la función que relaciona el ingreso y la cantidad demandada dados los precios (esta curva se llama Curva de Engel y es una convención colocar \(m\) en el eje de las ordenadas).
- Para \(m=10\) y \(p_2=5\), dibuje cuidadosamente la curva de demanda del bien 1 , la cual relaciona las cantidades demandadas con el precio (es convención poner el precio en el eje de las ordenadas).
- Verifique si los bienes 1 y 2 son normales o inferiores. ¿Son bienes ordinarios o Giffen? ¿Son complementarios o sustitutos?
Rehaga todo lo del ejercicio anterior para \(U\left(x_1, x_2\right)=\ln \left(x_1\right)+x_2\). Observe que la respuesta a la pregunta del inciso (e) no tiene una respuesta directa. Piénsela bien antes de contestar.
Rehaga el ejercicio 4.9 para \(U\left(x_1, x_2\right)=\min \left\{x_1, x_2\right\}\). Cuando derive las funciones de demanda, explique por qué el procedimiento estándar no funciona en este caso (Ayuda: utilice un gráfico para darse una idea de cómo proceder.)
Suponga que en un mercado las preferencias de los consumidores de tabaco se pueden representar mediante la siguiente función de utilidad:
\[ u\left(t_0, t_1, c\right)=c+\ln \left(t_0+\alpha t_1\right) \]
con \(\alpha>1\), donde \(t_0\) es el consumo de cigarrillos de baja calidad y \(t_1\) el consumo de cigarrillos de calidad alta, mientras que \(c\) es el consumo del resto de los bienes.
- Asuma que \(p_c=1\) y \(m>1\) y derive las demandas marshallianas de \(t_0\) y \(t_1\). En particular, muestre que:
\[ t_0^M=\left\{\begin{array}{ll} \frac{p_c}{p_{t_0}} & \text { si } p_{t_1}>\alpha p_{t_0} \\ \in\left[0, \frac{p_c}{p_{t_0}}\right] & \text { si } p_{t_1}=\alpha p_{t_0} \\ 0 & \text { si } p_{t_1}<\alpha p_{t_0} \end{array} \quad t_1^M= \begin{cases}0 & \text { si } p_{t_1}>\alpha p_{t_0} \\ \frac{p_c}{\alpha p_{t_1}}-\frac{t_0^M}{\alpha} & \text { si } p_{t_1}=\alpha p_{t_0} \\ \frac{p_c}{\alpha p_{t_1}} & \text { si } p_{t_1}<\alpha p_{t_0}\end{cases}\right. \]
y en todos los casos \(c^M=\frac{m-1}{p_c}=m-1\).
- Suponga que \(\alpha=2\) y que el ingreso de los consumidores es siempre suficiente para financiar el consumo de tabaco. Partimos de los precios \(p_{t_0}=4, p_{t_1}=10, p_c=1\). Analice la situación de un incremento del \(50 \%\) de los precios al consumidor para ambos tipos de cigarrillos (los precios al consumidor pasan a 6 y 15). Determine el consumo de \(t_0\) y \(t_1\) después del cambio de precios.
- Partiendo nuevamente de precios de \(p_{t_0}=4, p_{t_1}=10\), analice el efecto de un incremento del precio por cigarrillo de \(\$3\), que lleva los precios al consumidor a \(p_{t_0}=7, p_{t_1}=13\). Determine el consumo de \(t_0\) y \(t_1\) después del cambio.
- El gobierno está preocupado por reducir el consumo de productos nocivos asociados al tabaco que incluyen la nicotina y aditivos. Un cigarrillo de mala calidad tiene más sustancias nocivas que uno de buena calidad. Con este objetivo, el gobierno considera dos alternativas. La primera es un impuesto proporcional al precio del \(50 \%\), como en el inciso (b). La segunda alternativa es un impuesto de \(\$3\) por cigarrillo, como en el inciso (c). Suponga que parte del precio \(p_{t_0}=4, p_{t_1}=10\), y que hay ofertas perfectamente elásticas, por lo que los cambios en impuestos implican directamente modificaciones en los precios al consumidor, como en los incisos anteriores. ¿Cuál de los dos impuestos lleva a un consumo menor de sustancias nocivas?