Minimización de gasto

Microeconomía

Felipe Tappata

22 de mayo de 2025

Introducción

Problema dual

• En firma comenzamos con el problema de maximización de beneficios, y luego con el de minimización de costos.
• En consumidor ya vimos el problema de maximización de utilidad, y ahora vamos a ver el problema de minimización de gasto.

Minimización de gasto

El problema de minimización de gasto es \[ \begin{array}{cl} \displaystyle \min_{\vec{x}} & \vec{p} \cdot \vec{x} \\ \text{sujeto a} & u(\vec{x}) \geq u, \end{array}\tag{EMP} \] donde \(\vec{x}\) es el vector de consumo, \(\vec{p}\) es el vector de precios y \(u\) es un nivel de utilidad.¹

1. Recordemos que \((x_1, x_2, \ldots, x_N) \cdot (y_1, y_2, \ldots, y_N) = x_1y_1 + x_2y_2 + \ldots + x_Ny_N\) es el producto punto.

Interpretación

• El problema de minimización de gasto consiste en encontrar la canasta más barata que provee un determinado nivel de utilidad.
• Casi siempre la desigualdad de la restricción será una igualdad, y podemos asumirlo cuando resolvemos.
• Geométricamente, estamos encontrando el punto de tangencia entre una curva de indiferencia y una recta “isogasto”.

Demanda compensada

La solución al problema de minimización de gasto será una canasta que depende de precios y del nivel de utilidad, y se llama demanda compensada o demanda hicksiana.

Definición (Demanda compensada)

Para un consumidor, la demanda compensada es la solución a EMP, que denotamos \[ h(\vec{p},u) = x^C(\vec{p},u) = (h_1(\vec{p}, u), \ldots, h_L(\vec{p}, u)). \]

Función de gasto

• La función de gasto o función de gasto mínimo es el valor optimizado del problema de minimización de gasto.

Definición (Función de gasto)

Dadas las demandas \(\vec{h}(\vec{p}, u)\) que resuelven EMP, la función de gasto se define como

\[ e(\vec{p}, u) = \vec{p} \cdot \vec{h}(\vec{p}, u). \]

Elasticidad

Motivación

• Cuando tenemos funciones \(y = f(x, z)\), nos interesa medir la sensibilidad de \(y\) a cambios en \(x\) y \(z\).
• La medida de esta sensibilidad que usamos es la elasticidad, que nos dice cuánto cambia \(y\) en porcentaje cuando \(x\) o \(z\) cambia en 1%, manteniendo la otra variable constante.
• Solemos calcular elasticidades de demanda y oferta respecto a precios y cuando es aplicable respecto a ingreso.

Elasticidad

• Presentamos una definición general de elasticidad, que luego aplicaremos a diferentes funciones y diferentes variables para obtener las diferentes elasticidades.

Definición (Elasticidad)

Sea \(y\) una función de \(x\) y \(z\). La elasticidad de \(y\) respecto a \(x\) se define como \[ \eta_{y,x} = \frac{\partial y}{\partial x}\frac{x}{y}. \]

Intuición

• La motivación de definir la elasticidad de la manera anterior es que es una medida del ratio de cambios proporcionales en \(y\) y \(x\).
• Para cambios discretos, definiríamos ese ratio como \[ \tilde{\eta}_{y,x}=\frac{\Delta y/y}{\Delta x/x} = \frac{\Delta y}{\Delta x}\frac{x}{y}, \] donde \(\Delta x\) es un cambio en \(x\) y \(\Delta y\) es el resultante cambio en \(y\).
• Cuando \(\Delta x\) tiende a cero, el ratio \(\Delta y/\Delta x\) tiende a la derivada parcial de \(y\) contra \(x\), por definición (es el cociente incremental).

Interpretación

• La elasticidad de \(y\) respecto a \(x\) nos dice (aproximadamente) en qué proporción (porcentaje dividido por cien) cambia \(y\) cuando \(x\) aumenta 1%.
• Por ejemplo, una elasticidad de 5 nos dice que si \(x\) aumenta 3%, \(y\) aumenta 15% (aprox.).

Elasticidad precio directa

Definición (Elasticidad precio directa)

La elasticidad precio directa de la demanda del bien \(x_i\) es su elasticidad respecto al precio \(p_i\), \[ \eta_{x_i,p_i} = \frac{\partial x_i}{\partial p_i}\frac{p_i}{x_i}. \]

Elasticidad precio cruzada

Definición (Elasticidad precio cruzada)

La elasticidad precio cruzada de la demanda del bien \(x_i\) respecto al precio \(p_j\) es su elasticidad respecto al precio \(p_j\), \[ \eta_{x_i,p_j} = \frac{\partial x_i}{\partial p_j}\frac{p_j}{x_i}. \]

Elasticidad ingreso

Definición (Elasticidad ingreso)

La elasticidad ingreso de la demanda del bien \(x_i\) es su elasticidad respecto al ingreso \(m\), \[ \eta_{x_i,m} = \frac{\partial x_i}{\partial m}\frac{m}{x_i}. \]

Ejercicios

Ejercicios

• 5.1
• 5.2
• 5.3

5.1

La función de utilidad de un consumidor es \(u=x_1^2 x_2\).

1. Obtenga las curvas de demanda usuales y compensadas.
2. Calcule las elasticidades precio directa, precio cruzada e ingreso para los bienes \(x_1\) e \(x_2\) en cada uno de los casos.

5.2

La función de utilidad de un consumidor es \(u=x_1 + \ln x_2\).

1. Obtenga las curvas de demanda usuales y compensadas.
2. Calcule las elasticidades precio directa, precio cruzada e ingreso para los bienes \(x_1\) e \(x_2\) en cada uno de los casos.

\[ \begin{aligned} x_1\left(p_1, p_2, m\right) & = \begin{cases}0 & \text { if } m \leq \frac{p_1}{2} \\ \frac{m}{2 p_1}-\frac{1}{4} & \text { if } m>\frac{p_1}{2}\end{cases} \\ x_2\left(p_1, p_2, m\right) & = \begin{cases}\frac{m}{p_2} & \text { if } m \leq \frac{p_1}{2} \\ \frac{m+\frac{p_1}{2}}{2 p_2} & \text { if } m>\frac{p_1}{2}\end{cases} \end{aligned} \] \[ \begin{gathered} h_1\left(p_1, p_2, u_0\right)= \begin{cases}0 & \text { if } u_0 \leq \frac{p_1}{2 p_2} \\ \frac{1}{2}\left(\sqrt{\frac{2 p_2 u_0}{p_1}}-1\right) & \text { if } u_0>\frac{p_1}{2 p_2}\end{cases} \\ h_2\left(p_1, p_2, u_0\right)= \begin{cases}u_0 & \text { if } u_0 \leq \frac{p_1}{2 p_2} \\ \sqrt{\frac{p_1 u_0}{2 p_2}} & \text { if } u_0>\frac{p_1}{2 p_2}\end{cases} \end{gathered} \]

5.3

La función de utilidad de un consumidor es \(u=2x_1x_2 + x_2\).

1. Obtenga las curvas de demanda usuales y compensadas.
2. Calcule las elasticidades precio directa, precio cruzada e ingreso para los bienes \(x_1\) e \(x_2\) en cada uno de los casos.