Microeconomía
29 de mayo de 2025
Proposición (Relación entre UMP y EMP)
Sea \(u(\cdot)\) una función de utilidad continua que representa una relación de preferencia \(\succsim\) en el conjunto de consumo \(:\mathbb{R}^L_+\), donde \(L\) es el número de bienes, y el vector de precios es \(p \gg 0\). Entonces
Proposición (Relación entre gasto y utilidad indirecta)
Para un vector de precios \(p \gg 0\), riqueza \(m > 0\), y un nivel de utilidad \(u > u(0)\), vale que \[ e(p, v(p, m)) = m, \] donde \(e(p, u)\) es la función de gasto y \(v(p, m)\) la función de utilidad indirecta, y que \[ v(p, e(p, u)) = u. \]
Proposición (Relación entre demanda hicksiana y marshalliana)
Para un vector de precios \(p \gg 0\), riqueza \(m > 0\) y un nivel de utilidad \(u > u(0)\), vale que \[ h(p, u) = x(p, e(p, u)), \] donde \(h(p, u)\) es la demanda hicksiana y \(x(p, m)\) la demanda marshalliana, y que \[ x(p, m) = h(p, v(p, m)). \]
Proposición (Identidad de Roy)
Sea \(u(\cdot)\) una función de utilidad continua que representa una relación de preferencia localmente no-saciada y estrictamente convexa \(\succsim\) sobre el conjunto de consumo \(X = \mathbb{R}^L_+\), que es diferenciable en un punto \((p, m)\gg 0\). Entonces \[ x_\ell(p, m) = -\frac{\partial v(p, m)/\partial p_\ell}{\partial v(p, m)/\partial m} \quad \text{para } \ell = 1, \ldots, L. \]
Proposición (Ecuación de Slutsky)
Sea \(u(\cdot)\) una función de utilidad continua que representa una relación de preferencia localmente no-saciada y estrictamente convexa \(\succsim\) sobre el conjunto de consumo \(X = \mathbb{R}^L_+\). Entonces, para todo \((p, m)\) y \(u = v(p, m)\), vale que \[ \frac{\partial h_\ell (p, u)}{\partial p_k} = \frac{\partial x_\ell(p, m)}{\partial p_k} + \frac{\partial x_\ell (p, m)}{\partial m} x_k(p, m) \quad \text{para } \ell, k = 1, \ldots, L, \] o analogamente \[ \frac{\partial x_\ell (p, m)}{\partial p_k} = \frac{\partial h_\ell (p, u)}{\partial p_k} - \frac{\partial x_\ell(p, m)}{\partial m}x_k(p, m) \quad \text{para } \ell, k = 1, \ldots, L. \]
Proposición (Efecto ingreso y sustitución para cambios discretos)
Sean \(p_0\) y \(p_1\) los precios antes y después de un cambio y \(u = v(p_0, m)\). El efecto sustitución se define \[ {\rm ES} = h(p_1, u) - h(p_0, u). \] Los efectos ingreso y total se definen entonces \[ \begin{aligned} {\rm ET} &= x(p_1, m) - x(p_0, m),\\ {\rm EI} &= {\rm ET} - {\rm ES} = x(p_1, m) - h(p_1, u), \end{aligned} \] usando dualidad en la última igualdad.
Proposición (Money metric utility)
Dado un consumidor con preferencias \(\succsim\), función de gasto \(e(p, u)\), función de utilidad indirecta \(v(p, m)\) y un vector de precios \(\bar{p} \gg 0\), la función
\[ e(\bar{p}, v(p, m)) \] es una función de utilidad indirecta para \(\succsim\).
Definición (Variación equivalente)
Dado un consumidor con ingreso \(m\), función de gasto \(e(p, u)\), función de utilidad indirecta \(v(p, m)\) y un cambio de precios de \(p^0\) a \(p^1\), la variación equivalente se define
\[ E V\left(p^0, p^1, m\right)=e\left(p^0, u^1\right)-e\left(p^0, u^0\right) \] donde \(u^0=v\left(p^0, m\right)\) у \(u^1=v\left(p^1, m\right)\).
La variación equivalente se puede interpretar como la cantidad de dinero que el consumidor sería indiferente a recibir en lugar del cambio en precios. Es decir, el cambio en ingreso que sería equivalente al cambio en precios, en términos de su impacto sobre el bienestar.
Definición (Variación compensatoria)
Dado un consumidor con ingreso \(m\), función de gasto \(e(p, u)\), función de utilidad indirecta \(v(p, m)\) y un cambio de precios de \(p^0\) a \(p^1\), la variación compensatoria se define
\[ C V\left(p^0, p^1, m\right)=e\left(p^1, u^1\right)-e\left(p^1, u^0\right) \] donde \(u^0=v\left(p^0, m\right)\) у \(u^1=v\left(p^1, m\right)\).
La variación compensatoria se puede interpretar como el ingreso neto de un planner que debe compensar al consumidor luego de que ocurra el cambio en precios, o (menos) el valor que el consumidor estaría indiferente a recibir después del cambio en precios para permitir que ocurra.
Usando que \(e\left(p^1, u^1\right)=m\) у \(e\left(p^0, u^0\right)=m\), podemos reescribir las medidas de cambio en bienestar como
\[ \begin{aligned} & E V\left(p^0, p^1, m\right)=e\left(p^0, u^1\right)-m, \\ & C V\left(p^0, p^1, m\right)=m-e\left(p^1, u^0\right). \end{aligned} \]
En la práctica, esto nos ahorra un poco de álgebra.
Podemos también usar dualidad para expresar las medidas de bienestar en una forma implícita donde su interpretación intuitiva es más directa,
\[ \begin{aligned} & v\left(p^0, m+E V\right)=u^1, \\ & v\left(p^1, m-C V\right)=u^0. \end{aligned} \]
Consideremos un cambio en un solo precio: el del bien 1 , de \(p_1^0\) a \(p_1^1\). Como las demanda hicksiana del bien \(1, h_1(\cdot)\) es la derivada parcial de la función de gasto \(e(\cdot)\) con respecto a \(p_1\), podemos escribir
\[ \begin{aligned} & E V\left(p_0, p^1, m\right)=\int_{p_1^1}^{p_1^0} h_1\left(p_1, \ldots, p_L, u^1\right) d p_1, \\ & C V\left(p_0, p^1, m\right)=\int_{p_1^1}^{p_1^0} h_1\left(p_1, \ldots, p_L, u^0\right) d p_1. \end{aligned} \]
Establezca si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
- La función de utilidad indirecta es estrictamente creciente en \(p\) y no decreciente en el ingreso.
- La función de utilidad indirecta es homogénea de grado \(1\).
- La demanda hicksiana (compensada) del bien \(i\) correspondiente al nivel de utilidad \(u_0\) es idéntica a la demanda marshalliana del mismo bien correspondiente al nivel de ingreso \(e(p, u_0)\). Esto es, \(x_i^c\left(p, u_0\right)=x_i^*\left(p, e(p, u_0)\right).\)
- La maximización del la utilidad implica la minimización del gasto pero no siempre la minimización del gasto implica la maximización de la utilidad.
Un consumidor tiene la función de utilidad \(u\left(x_1, x_2\right)=\max \left\{x_1, x_2\right\}\). ¿Cuál es la función de demanda por los dos bienes por parte del consumidor y cuáles son las funciones de utilidad indirecta y de gasto?
Hallar las funciones de demanda de los bienes \(x_1\) y \(x_2\) si el agente tiene las siguientes funciones de demanda compensada:
\[ \begin{aligned} x_1^C\left(p_{1}, p_2, u\right) & =\left(1+\sqrt{\frac{p_2}{p_1}}\right) u \\ x_2^C\left(p_{1}, p_2, u\right) & =\left(1+\sqrt{\frac{p_1}{p_2}}\right) u \end{aligned} \]
Ayuda: deduzca primero la función de gasto y luego la función de utilidad indirecta para poder usar la identidad de Roy.
Considere
\[ v\left(p_1, p_2, m\right)=\frac{m}{p_1+p_2}. \] Calcule las funciones de demanda marshalliana y la función de gasto.
Suponga que la función de utilidad viene dada por \(u\left(x_1, x_2\right)=x_1^\alpha x_2^{1-\alpha}\)
- Derive las funciones de demanda.
- Compute los efectos sustitución e ingreso para el bien \(x_1\) dado un cambio en el precio de \((3,3)\) a \((3,4)\) si el ingreso es de 100 .
Rehaga el ejercicio 5.9 considerando la función de utilidad \(v\left(x_1, x_2\right)=\ln u\left(x_1, x_2\right)\).
Rehaga el ejercicio 5.9 considerando la función de utilidad \(w\left(x_1, x_2\right)=\max \left\{x_1, x_2\right\}\).