Microeconomía
5 de junio de 2025
Proposición (Money metric utility)
Dado un consumidor con preferencias \(\succsim\), función de gasto \(e(p, u)\), función de utilidad indirecta \(v(p, m)\) y un vector de precios \(\bar{p} \gg 0\), la función
\[ e(\bar{p}, v(p, m)) \] es una función de utilidad indirecta para \(\succsim\).
Definición (Variación equivalente)
Dado un consumidor con ingreso \(m\), función de gasto \(e(p, u)\), función de utilidad indirecta \(v(p, m)\) y un cambio de precios de \(p^0\) a \(p^1\), la variación equivalente se define
\[ E V\left(p^0, p^1, m\right)=e\left(p^0, u^1\right)-e\left(p^0, u^0\right) \] donde \(u^0=v\left(p^0, m\right)\) у \(u^1=v\left(p^1, m\right)\).
La variación equivalente se puede interpretar como la cantidad de dinero que el consumidor sería indiferente a recibir en lugar del cambio en precios. Es decir, el cambio en ingreso que sería equivalente al cambio en precios, en términos de su impacto sobre el bienestar.
Definición (Variación compensatoria)
Dado un consumidor con ingreso \(m\), función de gasto \(e(p, u)\), función de utilidad indirecta \(v(p, m)\) y un cambio de precios de \(p^0\) a \(p^1\), la variación compensatoria se define
\[ C V\left(p^0, p^1, m\right)=e\left(p^1, u^1\right)-e\left(p^1, u^0\right) \] donde \(u^0=v\left(p^0, m\right)\) у \(u^1=v\left(p^1, m\right)\).
La variación compensatoria se puede interpretar como el ingreso neto de un planner que debe compensar al consumidor luego de que ocurra el cambio en precios, o (menos) el valor que el consumidor estaría indiferente a recibir después del cambio en precios para permitir que ocurra.
Usando que \(e\left(p^1, u^1\right)=m\) у \(e\left(p^0, u^0\right)=m\), podemos reescribir las medidas de cambio en bienestar como
\[ \begin{aligned} & E V\left(p^0, p^1, m\right)=e\left(p^0, u^1\right)-m, \\ & C V\left(p^0, p^1, m\right)=m-e\left(p^1, u^0\right). \end{aligned} \]
En la práctica, esto nos ahorra un poco de álgebra.
Podemos también usar dualidad para expresar las medidas de bienestar en una forma implícita donde su interpretación intuitiva es más directa,
\[ \begin{aligned} & v\left(p^0, m+E V\right)=u^1, \\ & v\left(p^1, m-C V\right)=u^0. \end{aligned} \]
Consideremos un cambio en un solo precio: el del bien 1 , de \(p_1^0\) a \(p_1^1\). Como las demanda hicksiana del bien \(1, h_1(\cdot)\) es la derivada parcial de la función de gasto \(e(\cdot)\) con respecto a \(p_1\), podemos escribir
\[ \begin{aligned} & E V\left(p_0, p^1, m\right)=\int_{p_1^1}^{p_1^0} h_1\left(p_1, \ldots, p_L, u^1\right) d p_1, \\ & C V\left(p_0, p^1, m\right)=\int_{p_1^1}^{p_1^0} h_1\left(p_1, \ldots, p_L, u^0\right) d p_1. \end{aligned} \]
Suponga que un consumidor tiene la siguiente función de utilidad
\[ u\left(x_1, x_2\right)=x_1^{0,5} x_2^{0,5} \]
y un ingreso de \(\$ 100\). Originalmente enfrenta un vector de precios \((1,1)\). ¿Cuáles son las variaciones equivalente y compensadora en su ingreso cuando el vector de precios cambia a \((2,1)\) ?
Demuestre que si la función de utilidad es cuasilineal en el bien 1, entonces la variación compensadora y la variación equivalente son iguales para cualquier vector \(\left(p_2^0, p_2^1\right)\).
La función de utilidad de un individuo está dada por \(u(x, y)=\min \{x, y\}\). Este individuo tiene un ingreso de \(\$ 15.000\) y el precio de \(x\) e \(y\) es de 1 en ambos casos. Su jefe está considerando la posibilidad de trasladarlo a otra ciudad donde el precio de \(x\) es 1 y el precio de \(y\) es de 2. Sin embargo, no le ofrece ninguna suba salarial. Este individuo, que comprende perfectamente los conceptos de variación compensadora y de variación equivalente, se queja amargamente. Dice que no le importa trasladarse (la nueva ciudad le resulta tan agradable como la otra) pero tener que hacerlo es tan malo como una reducción del salario en $A. También dice que no le importaría trasladarse si le ofrecieran una suba de $B. Compute los valores de A y B. Repita lo hecho cuando el nivel de ingreso es \(m\).
Suponga que un consumidor tiene la siguiente función de utilidad: \(u\left(x_1, x_2\right)=x_1+x_2\). Inicialmente el consumidor enfrenta el siguiente vector de precios: \(\left(p_{1},p_2\right)=(1,2)\) y posee un ingreso de 10 . Si los precios varían a \(\left(p_1, p_2\right)=(4,2)\), calcule las variaciones compensatoria y equivalente.
Consideremos el caso de un consumidor con preferencias bien comportadas (racionales, monótonas y convexas). Suponga que el consumidor tiene un nivel de riqueza fijo \(m>0\) y que el vector de precios es inicialmente \(p^0\) [por ejemplo, si \(p^0 \subset \mathbb{R}^2=p^0=\left(p_1^0, p_2^0\right)\) ]. Suponga que el vector de precios cambia de \(p^0\) a \(p^1\). Llamemos \(u^0=v\left(p^0, m\right)\) y \(u^1=v\left(p^1, m\right)\) a los niveles de utilidad que alcanza el individuo con cada vector de precios dado su nivel de riqueza. Sea \(e(\bar{p}, \bar{u})\) la función de gasto mínimo del consumidor, es decir, el gasto cuando el vector de precios es \(\bar{p}\) que le permite al consumidor obtener un nivel de utilidad \(\bar{u}\). Se define entonces formalmente la Variación Equivalente (VE) y Variación Compensatoria (VC) de este individuo como:
\[ \begin{aligned} & V E\left(p^0, p^1, m\right) \equiv e\left(p^0, u^1\right)-e\left(p^0, u^0\right) \\ & V C\left(p^0, p^1, m\right) \equiv e\left(p^1, u^1\right)-e\left(p^1, u^0\right) \end{aligned} \] Esto es, la VE es el cambio en la riqueza que sería equivalente al cambio en precios en términos de impacto de bienestar (utilidad). Mientras que la VC mide la compensación que debería recibir el consumidor como consecuencia del cambio en precios en términos de impacto de bienestar.
- Compruebe intuitivamente que las definiciones arriba expuestas de VE y VC son equivalentes a las vistas en clase.
- Pruebe que \(e\left(p^0, u^0\right)=e\left(p^1, u^1\right)\) (Ayuda: piense intuitivamente por qué debe darse esta igualdad).
- Pruebe que: \[ \begin{aligned} & V E\left(p^0, p^1, m\right)=e\left(p^0, u^1\right)-e\left(p^1, u^1\right) \\ & V C\left(p^0, p^1, m\right)=e\left(p^0, u^0\right)-e\left(p^1, u^0\right) \end{aligned} \]
- Asuma ahora que \(p \subset \mathbb{R}^2\), y que sólo varía el precio del bien 1 (es decir, \(p_1^0 \neq p_1^1\) y \(p_2^0=p_2^1\)). Llamemos \(x_1^c(p, u)\) a la curva de demanda hicksiana (o compensada) por el bien 1. Puede probarse que: \(x_1^c(p, u)=\partial e(p, u) / \partial p_1.\) Utilice este resultado y lo que probó en el inciso b) para expresar las VE y VC como función de las demandas hicksianas.
- Utilice el resultado hallado en c) para probar que si la función de utilidad es cuasilineal (de forma tal que no exista efecto riqueza para el bien 1), entonces la VC y la VE son iguales. [Ayuda: Analice cómo varía la demanda hicksiana al cambiar el nivel de utilidad].
- Continuando con el análisis de los incisos anteriores, se llama cambio en el excedente del consumidor al área comprendida entre \(p_1^0\) y \(p_1^1\) y la parte izquierda de la demanda de mercado. Suponga que existe un solo consumidor (por lo tanto su demanda individual es la demanda de mercado). Pruebe que en el caso de la función de utilidad del inciso e) (cuasilineal) el cambio en el excedente del consumidor es igual a la VC (ya probó en el inciso anterior que en este caso VC \(=\) VE). [Ayuda: Piense cuidadosamente cómo obtiene la demanda de mercado que es igual a la demanda individual].
Considere una economía con dos consumidores que tienen funciones de utilidad Cobb-Douglas \(u_1\left(x_{11}, x_{21}\right)=x_{11}^\alpha x_{21}^{1-\alpha}\) y \(u_2\left(x_{12}, x_{22}\right)=x_{12}^\beta x_{22}^{1-\beta}\). Suponga que la dotación del consumidor \(i\) es \(\left(\omega_{1 i}, \omega_{2 i}\right) \gg 0\) para \(i=1,2\)
- Defina lo que es un equilibrio general para esta economía.
- Obtenga el precio relativo y las asignaciones de equilibrio para cada uno de los consumidores de esta economía en función de la definición de equilibrio dada en el inciso anterior.
- Analice cómo se modifican los resultados del inciso anterior al modificarse \(\omega_{11}\).
- Considere el caso particular en donde \(\omega_{11}=1, \omega_{12}=0, \omega_{21}=0, \omega_{22}=1\). Calcule las asignaciones óptimas y pruebe que se verifica la condición de consistencia agregada.