Microeconomía
11 de agosto de 2025
Definición (Función)
Una función es una regla que describe una relación entre números, tal que:
\[x\in \mathbb{R} \rightarrow y\in \mathbb{R}\]
Se escribe como \(y=f(x)\), donde \(x\) es la variable independiente e \(y\) es la dependiente.
Podemos tener una variable \(y\) que dependa de varias variables. Se escribe como \(y=f(x_1;x_2)\) y expresa la relación:
\[(x_1;x_2)\in \mathbb{R}^2 \rightarrow y\in \mathbb{R}\]
La función logarítmica \(y = \ln(x)\) tiene las propiedades:
De las propiedades anteriores, encontrar una expresión para \(\ln(x^z)\).
Definición (Derivada)
Dada una función \(f(x)\), la derivada de \(f\) contra \(x\) se define como
\[\frac{df(x)}{dx}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}\]
Si la función tiene una sola variable independiente, la notación para la derivada suele ser: \(f'(x)\).
La segunda derivada de una función se denota \(\frac{d^2f(x)}{dx^2}\) o \(f''(x)\).
A veces es útil calcular la derivada en un punto \(a\in \mathbb{D}_f\). Se escribe como \(\frac{df(x)}{dx}|_{x=a}\).
Calcular la derivada de \(f(x)=2\cdot \ln(x)\) para \(x=1\) y \(x=20\).
Calcular la segunda derivada de \(f(x)=2\cdot \ln(x)\) para \(x=1\) y \(x=20\).
Definición (Diferencial)
Definimos el cambio de \(y\) frente a un cambio \(\Delta x\) como \(\Delta y\). Queremos aproximar \(\Delta y\) con una función lineal en \(\Delta x\), utilizando la tangente. El diferencial de \(y\) en \(x\) se define como: \[dy=f'(x)dx\]
Donde \(f'(x)\) es la derivada en \(x\) y \(dx\) es el valor del cambio en la variable \(x\). La aproximación será mejor mientras más chico sea \(dx\).
Computar \(\Delta y\) y \(dy\) cuando \(y=x^2\), \(x=2\), \(\Delta x=0.1\).
Definición (Elasticidad)
Para \(y=f(x)\), la elasticidad de \(y\) con respecto a \(x\) es:
\[\eta = \frac{dy}{dx}\frac{x}{y}\]
Mide el cambio porcentual en la variable \(y\) ante un cambio de un \(1\%\) en la variable \(x\).
Muestre que la elasticidad también puede expresarse como \(\eta= \frac{d\ln(y)}{d\ln(x)}\).
Calcular la elasticidad de \(q=30\cdot p^{-5}\) y muestre que es isoelástica.
Definición (Condición de primer orden)
La condición de primer orden es:
\[\frac{df(x)}{dx}|_{x^{*}}=0\]
Nos permite identificar los candidatos a mínimos o máximos de una función \(f(x)\).
Puede no haber ningún punto en el que \(f'(x)=0\) o puede que \(f'(x)=0\) valga para un punto en el cual la función no toma un valor máximo ni mínimo.
Es una condición necesaria, pero no suficiente.
Definición (Condición de segundo orden)
La condición de segundo orden para que un punto sea un máximo es:
\[\frac{d^2f(x)}{dx^2}|_{x^*}<0\]
La condición de segundo orden para que un punto sea un mínimo es:
\[\frac{d^2f(x)}{dx^2}|_{x^*}>0\]
Encontrar candidatos a mínimo y máximo para la función \(y=x^2\).
Especificar si el punto encontrado en las CPO es máximo o mínimo. Graficar \(f(x)\), \(f'(x)\) y \(f''(x)\).
Una función \(y=f(x_1;x_2)\) puede graficarse en un gráfico de 3 dimensiones, o puede graficarse en un gráfico de 2 dimensiones que represente todos los valores de \(x_1\) y \(x_2\) que generen un mismo valor para la variable \(y\).
Definición (Curvas de nivel)
Dada una función \(f(x_1;x_2)\), la curva de nivel de nivel \(k\) es la colección de puntos en el plano \((x_1;x_2)\) que cumplen \(f(x_1;x_2)=k\).
Graficar \(y=x_1^2x_2\) para \(x_1\) y \(x_2\) entre 0 y 10 en un gráfico 3D.
Grafique todos los valores de \(x_1\) y de \(x_2\) para los cuales el valor de \(y\) es 10 para \(y=x_1^2x_2\) con \(x_1\) y \(x_2\) entre 0 y 10.
Definición (Derivada parcial)
Para una función \(y=f(x_1;x_2)\), la derivada parcial de \(f(x_1;x_2)\) respecto a \(x_1\) es:
\[\frac{\partial f(x_1;x_2)}{\partial x_1}=\lim_{\Delta x_1\rightarrow 0} \frac{f\left(x_1+\Delta x_1;x_2\right)-f(x_1;x_2)}{\Delta x_1}\]
Es decir, \(x_2\) se mantiene fija.
Una forma de escribir la derivada parcial de \(f(x_1;x_2)\) respecto al primer argumento de la función es \(f_1(x_1;x_2)\).
Definición (Derivadas parciales de segundo orden)
Las derivadas parciales de segundo orden son derivadas parciales de derivadas parciales. Para \(y=f(x_1;x_2)\) podríamos calcular:
\[\frac{\partial ^2 f}{\partial x_1^2}; \frac{\partial ^2 f}{\partial x_2^2}; \frac{\partial ^2 f}{\partial x_1\partial x_2}\]
Que también pueden escribirse como:
\[f_{11}; f_{22}; f_{12}\]
\(f_{12}\) es conocida como derivada cruzada. Se cumple que \(f_{12}=f_{21}\).
Derivar parcialmente con respecto a \(x_1\) y a \(x_2\) una función Cobb-Douglas: \(y=Ax_1^{\alpha}x_2^{\beta}\).
Computar la derivada cruzada de una función Cobb-Douglas: \(y=Ax_1^{\alpha}x_2^{\beta}\).
Definición (Diferencial total)
Un diferencial total es la aproximación del cambio de la variable \(y\) cuando hay cambios en todas las variables \(x\). De este modo, si \(y = f (x_1; x_2)\) su diferencial total será:
\[dy=\frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2\]
Es una función lineal de varias variables:
Calcular el diferencial total de \(y=20x_1+30x_2+x_1x_2\) cuando \(x_1=2\), \(x_2=4\), \(dx_1=0.1\) y \(dx_2=-0.05\)
Definición (Condición de primer orden para múltiples variables)
La condición necesaria para encontrar un óptimo es que la función no aumente para cualquier cambio de cada una de las variables \(x_i\). Si la función es \(y = f (x_1; x_2)\), se requiere que:
\[f_1=0\] \[f_2=0\]
En general, esto vale si tenemos \(n\) variables: \(f_1=0, f_2=0, ..., f_n=0\).
Encuentre puntos críticos para la función \(y=-(x_1-1)^2-(x_2-2)^2+10\).
Definición (Condiciones de segundo orden para múltiples variables)
Para \(y=f(x_1;x_2)\), las condiciones de segundo orden que deben cumplir son:
\[ \begin{aligned} & f_{11}<0 \\ & f_{22}<0 \end{aligned} \]
Y, adicionalmente,
\[ \left|\begin{array}{ll} f_{11} & f_{12} \\ f_{21} & f_{22} \end{array}\right|>0 \]
Buscamos un par \((x_1,x_2)\) que maximice el valor de una función \(f(x_1,x_2)\) y que a la vez satisfaga una restricción \(g(x_1,x_2)=m\). Formalmente:
\[ \begin{array}{cl} \displaystyle \max_{x_1,x_2} & f(x_1,x_2) \\ \text{sujeto a} & g(x_1,x_2)=m \end{array} \]
El método de Lagrange, o de multiplicadores de Lagrange consiste en definir una función \(\mathcal{L}\) que, cuando derivamos contra todos sus argumentos e igualamos a cero, nos da las condiciones necesarias para un óptimo del problema restringido. \[ \mathcal{L}(x_1,x_2,\lambda)=f(x_1,x_2)-\lambda[g(x_1,x_2)-m] \]
Aparece una nueva variable, \(\lambda\), que se conoce como multiplicador de Lagrange.
Las condiciones de primer orden del problema de Lagrange son:
\[\begin{align} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_1} &= f_1-\lambda g_1=0\\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_2} &= f_2-\lambda g_2=0\\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} &= m-g(x_1,x_2)=0 \end{align}\]
El valor de \(\lambda^*\) representa cuánto aumentaría el valor de la función objetivo si la restricción se relajara marginalmente.
\[\lambda^*=\frac{\text{Beneficio marginal de }x_1}{\text{Costo marginal de }x_1}\]
Maximizar \(y=-x_1^2+2x_1-x_2^2+4x_2+5\) sujeto a \(x_1+x_2=1\). Calcular el valor de la función en ese punto y el valor del multiplicador de Lagrange.
Escribir el lagrangiano correspondiente al problema de maximizar \(y=-x_1^2+2x_1-x_2^2+4x_2+5\) sujeto a \(x_1+x_2=1,2\) y sus condiciones de primer orden.