Maximización de beneficios

Microeconomía

Felipe Tappata

18 de agosto de 2025

Maximización de beneficios

Supuestos

  • Competencia perfecta: firma toma como dados los precios del bien final y de los insumos.
  • La firma no tiene en cuenta su efecto sobre los precios de equilibrio
  • El objectivo de la firma es maximizar sus beneficios

Beneficios

  • Los beneficios (profit), denotados por \(\pi\), son la diferencia entre los ingresos y los costos
  • Formas de escribir beneficios:
    • \(\pi = \text{Ingresos} - \text{Costos}\)
    • \(\pi = P \cdot Q - C(Q)\)
    • \(\pi = (P - C(Q)/Q) Q\)
    • \(\pi = P f(\vec{x}) - C(\vec{x})\)
    • \(\pi = P f(x_1,\ldots, x_n) - w_1 x_1- \cdots - w_n x_n\)

Problema de la firma

Planteamos el problema de maximización de beneficios de la firma como \[ \max_{\vec{x}} \quad pf(\vec{x}) - C(\vec{x}), \] donde \(\vec{x}\) es el vector de insumos usado para producir, \(p\) es el precio del bien final, \(f(\vec{x})\) es la función de producción y \(C(\vec{x})\) es el costo de producir con \(\vec{x}\).

Condiciones de primer orden

  • Queremos maximizar la función \(\pi = pf(\vec{x}) - C(\vec{x})\).
  • En un máximo se tienen que cumplir las condiciones de primer orden: \[ \frac{\partial \pi}{\partial x_i} = 0, \quad \forall i = 1, \ldots, n. \]

CPO: interpretación

  • Usando \(\pi = pf(\vec{x}) - C(\vec{x})\), la CPO nos dice \[ \frac{\partial \pi}{\partial x_i} = p \frac{\partial f(\vec{x})}{\partial x_i} - \frac{\partial C(\vec{x})}{\partial x_i} = 0. \]

  • Es decir, \[ \begin{aligned} p \text{Pmg}_i &= \text{Cmg}_i, \\ \text{Img}_i &= \text{Cmg}_i. \end{aligned} \]

  • La CPO nos dice que el ingreso marginal de \(x_i\) es igual al costo marginal

Condiciones de segundo orden

  • Los puntos críticos donde se cumple la condición de primer orden no necesariamente son máximos.
  • El cumplimiento de la condición de segundo orden garantiza que el punto crítico sea un máximo.
  • En el caso de muchos insumos se vuelve más compleja la CSO, pero si tenemos un único insumo \(x\), es: \[ \frac{\partial^2 \pi}{\partial x^2} < 0. \]

Solución del problema

  • La solución del problema es \(\vec{x}^*\) tal que \[ pf(\vec{x}^*) - C(\vec{x}^*) \geq pf(\vec{x}) - C(\vec{x}) \quad \forall \vec{x}. \]
  • Es decir, un vector de insumos tal que ningún otro vector de insumos genera mayores beneficios

Oferta y demanda

  • La solución del problema es el vector de insumos \(\vec{x}^*\) que maximiza los beneficios.
  • A este vector de insumos lo llamamos la función de demanda de insumos, y es una función de \(p\) y los precios de los insumos.
  • La cantidad \(y^* = f(\vec{x}^*)\) es la cantidad producida que maximiza los beneficios.
  • A esta cantidad la llamamos la función de oferta del producto.

Ejercicios

Ejercicio 1

Analice las propiedades básicas de las siguientes funciones de producción y grafique las isocuantas:

  1. \(f\left(x_1, x_2\right)=a x_1+b x_2\) con \(a>0, b>0\)
  2. \(f\left(x_1, x_2\right)=x_1^a x_2^b\) con \(a>0, b>0\) y \(a+b=1\)
  3. \(f\left(x_1, x_2\right)=\min \left\{x_1, x_2\right\}\)
  4. \(f\left(x_1, x_2\right)=\left(a x_1^\rho+b x_2^\rho\right)^{\frac{1}{\rho}}\) con \(a>0, b>0, a+b=1, \rho<1\) y \(\rho \neq 0\).

Ejercicio 1 (a)

  1. \(f\left(x_1, x_2\right)=a x_1+b x_2\) con \(a>0, b>0\)

Ejercicio 1 (a): Gráfico

Ejercicio 1 (b)

  1. \(f\left(x_1, x_2\right)=x_1^a x_2^b\) con \(a>0, b>0\) y \(a+b=1\)

Ejercicio 1 (b): Gráfico

Ejercicio 1 (c)

  1. \(f\left(x_1, x_2\right)=\min \left\{x_1, x_2\right\}\)

Ejercicio 1 (c): Gráfico

Ejercicio 1 (d)

  1. \(f\left(x_1, x_2\right)=\left(a x_1^\rho+b x_2^\rho\right)^{\frac{1}{\rho}}\) con \(a>0, b>0, a+b=1, \rho<1\) y \(\rho \neq 0\).

Ejercicio 1 (d): Gráfico

Ejercicio 2 (2.5 de guía)

Considere el caso de un productor que utiliza sólo un insumo, \(x\), para producir un único producto, \(y\), de acuerdo con la siguiente tecnología de producción: \[ f(x) = x^\alpha, \quad \text{con} \, \alpha \in (0, 1). \]

Ejercicio 2 (a)

  1. Determine cómo son los rendimientos a escala y marginales de esta función de producción.

Ejercicio 2 (b)

  1. Formule el problema de maximización de beneficios.

Ejercicio 2 (c)

  1. Obtenga las funciones de demanda del insumo y de oferta del producto. Obtenga también la función de beneficios.

Ejercicio 2 (d)

  1. Verifique que la condición de segundo orden se cumple. ¿Qué rol juega en esto lo que encontró en (a)?

Ejercicio 3

Considere la función de producción \(f(x)=A \ln (1+x)\), con \(A>0\). El precio del bien final es \(p>0\) y el precio del insumo es \(w>0\).

Ejercicio 3 (a)

  1. Resuelva el problema de maximización del beneficio y obtenga la demanda del insumo y la oferta del bien.

Ejercicio 3 (b)

  1. Represente la demanda del insumo en forma gráfica, con \(w\) en el eje vertical y \(x\) en el eje horizontal.

Ejercicio 3 (c)

  1. Represente la oferta del bien final en forma gráfica, con \(p\) en el eje vertical y la cantidad producida \((y)\) en el eje horizontal.

Ejercicio 4

Considere la función de producción \(f(x)=A x\), con \(A>0\). El precio del bien final es \(p>0\) y el precio del insumo es \(w>0\).

Ejercicio 4 (a)

  1. Resuelva el problema de maximización del beneficio y obtenga la demanda del insumo y la oferta del bien.

Ejercicio 4 (b)

  1. Represente la demanda del insumo en forma gráfica, con \(w\) en el eje vertical y \(x\) en el eje horizontal.

Ejercicio 4 (c)

  1. Represente la oferta del bien final en forma gráfica, con \(p\) en el eje vertical y la cantidad producida \((y)\) en el eje horizontal.

Ejercicio 5

Considere el problema de maximización del beneficio para una tecnología \(f(x)\) con \(f^{\prime}>0\) y \(f^{\prime \prime}<0\) para todo \(x\). Suponga que la solución del problema es siempre interior.

  1. Demuestre el Lema de Hotelling.1
  2. Demuestre que el Lema de Hotelling se cumple para el caso analizado en el ejercicio 2.