Maximización de beneficios II

Microeconomía

Felipe Tappata

25 de agosto de 2025

Ejercicios

Ejercicio 0 (4 de clase pasada)

Considere la función de producción \(f(x)=A x\), con \(A>0\). El precio del bien final es \(p>0\) y el precio del insumo es \(w>0\).

Ejercicio 0 (a)

1. Resuelva el problema de maximización del beneficio y obtenga la demanda del insumo y la oferta del bien.

Ejercicio 0 (b)

2. Represente la demanda del insumo en forma gráfica, con \(w\) en el eje vertical y \(x\) en el eje horizontal.

Ejercicio 0 (c)

3. Represente la oferta del bien final en forma gráfica, con \(p\) en el eje vertical y la cantidad producida \((y)\) en el eje horizontal.

Ejercicio 1

Considere una firma que produce un único bien utilizando la siguiente función de producción con dos insumos:

\[ F\left(x_1, x_2\right)=x_1^{1 / 2}+x_2^{1 / 2} \]

Ejercicio 1 (a)

1. Calcule las productividad marginal de cada insumo y muestre que es siempre positiva. Determine si la productividad marginal de cada factor es decreciente en la cantidad de dicho factor (no es necesario hacer derivadas). Determine si esta tecnología presenta rendimientos a escala crecientes, constantes o decrecientes.

Ejercicio 1 (b)

2. Considere el siguiente problema de maximización del beneficio:

   \[ \max _{x_1, x_2} \quad p\left(x_1^{1 / 2}+x_2^{1 / 2}\right)-w_1 x_1-w_2 x_2 \] donde \(p>0\) es el precio del bien producido, \(w_1>0\) es el precio del insumo 1 y \(w_2>0\) es el precio del insumo 2.

Ejercicio 1 (b) 1

1. Resuelva el problema y obtenga:
   1. la demanda de cada insumo, \(x_1^d\left(w_1, w_2, p\right)\), \(x_2^d\left(w_1, w_2, p\right)\);
   2. la oferta del bien, \(y^s\left(w_1, w_2, p\right)\);
   3. la función de beneficios, \(\pi\left(w_1, w_2, p\right)\).

Ejercicio 1 (b) 2

2. Para cada uno de los casos anteriores indique como cambia el valor óptimo cuando cambia el precio.¹

1. Es decir, como cambia \(x_1\) cuando cambia \(w_1\), como cambia \(x_2\) cuando cambia \(w_2\), como cambia \(y\) cuando cambia \(p\).

Ejercicio 1 (b) 3

1. Represente gráficamente a \(x_1^d\left(w_1, w_2, p\right)\) como función de \(w_1\left(x_1\right.\) en el eje horizontal, \(w_1\) en el eje vertical). ¿Cómo se desplaza la curva cuando cambian \(p\) y \(w_2\) ?
2. Represente gráficamente a \(x_2^d\left(w_1, w_2, p\right)\) como función de \(w_2\left(x_2\right.\) en el eje horizontal, \(w_2\) en el eje vertical). ¿Cómo se desplaza la curva cuando cambian \(p\) y \(w_1\) ?
3. Represente gráficamente a \(y^s\left(w_1, w_2, p\right)\) como función de \(p(y\) en el eje horizontal, \(p\) en el eje vertical). ¿Cómo se desplaza la curva cuando cambian \(w_1\) y \(w_2\) ?

Ejercicio 1 (c)

3. Ahora considere el siguiente problema de maximización del beneficio en el corto plazo:

   \[ \max _{x_1 \geq 0} \quad p\left(x_1^{1 / 2}+\bar{x}_2^{1 / 2}\right)-w_1 x_1-w_2 \bar{x}_2 \] donde \(\bar{x}_2>0\) es la cantidad fija del insumo 2 .

Ejercicio 1 (c) 1

1. Resuelva el problema y obtenga:
   1. la demanda de corto plazo para el insumo 1 ;
   2. la oferta del bien en el corto plazo.

Ejercicio 1 (c) 2

2. Represente gráficamente las curva de demanda de corto plazo del insumo 1. ¿Cómo se desplaza la curva cuando cambian \(p, w_2\) y \(\bar{x}_2\) ?

Ejercicio 1 (c) 3

3. Represente gráficamente la curva de oferta de corto y largo plazo. ¿Cómo se desplaza la curva cuando cambian \(w_1, w_2\) y \(\bar{x}_2\) ?

Ejercicio 1 (c) 4

4. ¿Qué ocurre con los resultados del inciso 1 cuando \(\bar{x}_2\) coincide con su valor óptimo de largo plazo?

Ejercicio 2 (a)

1. Demuestre el Lema de Hotelling para el caso de largo plazo con dos factores de producción:¹

   \[ \begin{aligned} \frac{\partial \pi}{\partial p}(p, w, r)&=Y^s(p, w, r)\\ -\frac{\partial \pi}{\partial w}(p, w, r)&=L^d(p, w, r)\\ -\frac{\partial \pi}{\partial r}(p, w, r)&=K^d(p, w, r) \end{aligned} \]

1. Demostración del Lema de Hotelling.

Ejercicio 2 (b)

2. Verifique que el Lema de Hotelling se cumple en el caso del ejercicio 1.

Ejercicio 2 (c)

3. Considere la solución de corto plazo correspondiente al inciso (c) del ejercicio 1. ¿Se cumple el Lema de Hotelling?

Ejercicio 3

Considere la función de producción \[ F(K, L)=A K^{2/3} L^{2/3}, \] donde \(A\) es un parámetro positivo, \(K\) es el capital y \(L\) es el trabajo.

Ejercicio 3 (a)

1. Calcule la productividad marginal de cada factor de producción. ¿Son decrecientes?

Ejercicio 3 (b)

2. Demuestre que esta tecnología exhibe rendimientos crecientes a escala.

Ejercicio 3 (c)

3. Ahora suponga que la función de producción es \(f(K, L)=A K L\). Repita el análisis de los incisos (a)-(b) y compare los resultados obtenidos.

Ejercicio 3 (d)

4. Ahora suponga que la función de producción es \(g(K, L)=A K^2 L^2\). Repita el análisis de los incisos (a)-(b) y compare los resultados obtenidos.

Ejercicio 3 (e)

5. Para los tres casos, plantee el problema de maximización del beneficio de largo plazo y determine si tiene solución.

Ejercicio 3 (f)

6. Para los tres casos, plantee el problema de maximización del beneficio de corto plazo (con \(K=\bar{K}\) constante) y determine si tiene solución.

Ejercicio 4

Considere la función de producción \(F(K, L, T)=A K^{\frac{1}{3}} L^{\frac{1}{3}} T^{\frac{1}{3}}\), donde \(A\) es un parámetro positivo, \(K\) es el capital, \(L\) es el trabajo y \(T\) es la tierra.

Ejercicio 4 (a)

1. Demuestre que la tecnología de producción exhibe rendimientos constantes a escala.

Ejercicio 4 (b)

2. Resuelva el problema de maximización del beneficio de largo plazo. Represente gráficamente la curva de oferta del bien y las curvas de demanda de los tres factores.

Ejercicio 4 (c)

3. Resuelva el problema de maximización del beneficio de corto plazo cuando \(T=\bar{T}\) es constante. Represente gráficamente la curva de oferta (de corto plazo) del bien y las curvas de demanda (de corto plazo) de los factores \(K\) y \(L\).