Minimización de costos

Microeconomía

Felipe Tappata

1 de septiembre de 2025

Costos

Introducción

• En el problema de maximización de beneficios de la clase pasada, la firma elegía la cantidad de insumos para maximizar beneficio
• Con una elección de \(\vec{x}\), se determinan dos cosas:
  • La cantidad producida del bien \(y\)
  • Cómo se produce el bien \(y\) (la combinación de insumos)
• Vamos a ver que se puede descomponer el problema en dos pasos

Minimización de costos

• Consideremos plantear la maximización de beneficios en dos pasos

1. Minimización de costos: encontramos, para cualquier \(y\), la manera más barata de producir.
2. Maximización de beneficios: elegimos \(y\) para maximizar los beneficios, teniendo en cuenta los costos mínimos del paso anterior.

• El resultado es el mismo

Problema de minimización

El problema de minimización de costos es el problema restringido:¹ \[ \begin{array}{cl} \displaystyle \min_{\vec{x}} & C(\vec{x})\\ \text{s. a} & f(\vec{x}) = y,\\ \end{array} \] donde \(\vec{x}\) es el vector de insumos, \(f\) es la función de producción, \(y\) es un nivel de producción arbitrario y \(C(\vec{x})\) es el costo total de producción con insumos \(\vec{x}\).

1. Ver Apéndice matemático; podemos usar el método de Lagrange.

Problema de minimización II

En nuestro modelo de competencia perfecta, si \(\vec{x} = x_1, \ldots, x_n\) son los insumos, el problema toma la forma \[ \begin{array}{cl} \displaystyle \min_{x_1, \ldots, x_n} & w_1 x_1 + w_2 x_2 + \cdots + w_n x_n\\ \text{s. a} & f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = y,\\ \end{array} \tag{CMP} \] donde \(w_i\) es el precio del insumo \(i\).

• ¿De qué variables depende la solución?

Demanda condicionada

• Una vez resuelto el problema de minimización, vamos a tener valores para \(x_1, \ldots, x_n\) en función de \(y\) y de los precios de los insumos.

Definición (Demanda condicionada de factores)

Llamamos demanda condicionada de factores a la solución del problema de minimización del costo \[ x_i = z_i(w_1, w_2, \ldots, w_n, y), \quad i = 1, \ldots, n. \]

Función de costo

• Si reemplazamos la solución del problema de minimización de costos en la función objetivo¹ del problema, obtenemos una función que nos dice el mínimo costo necesario para producir \(y\).

Definición (Función de costo)

El valor optimizado de la función objetivo del problema de minimización de costos es la función de costo: \[ c(y, w_1, w_2, \ldots, w_n) = w_1 z_1(\cdot) + \cdots + w_n z_n(\cdot). \]

1. Recordar que la función objetivo de un problema de optimización es lo que queremos maximizar o minimizar

Costo marginal

• El costo marginal se refiere al costo marginal de producir una unidad más de manera óptima.

Definición (Costo marginal)

El costo marginal es la derivada de la función de costo respecto a \(y\): \[ \operatorname{Cmg}(y, w_1, w_2, \ldots, w_n) = \frac{\partial c(y, w_1, w_2, \ldots, w_n)}{\partial y}. \]

Costo medio

• El costo medio es el costo promedio de producir \(y\) unidades.

Definición (Costo medio)

El costo medio es el costo total dividido por la cantidad producida: \[ \operatorname{Cme}(y, w_1, w_2, \ldots, w_n) = \frac{c(y, w_1, w_2, \ldots, w_n)}{y}. \]

Costo medio y retornos a escala

• Hay una relación crucial entre la forma del costo medio y los retornos a escala de la función de producción.

Proposición (Costo medio y retornos a escala)

Sea \(f(\vec{x})\) la función de producción y \(\operatorname{Cme}(y)\) la función de costo medio de una firma.

• \(f(\vec{x})\) tiene retornos a escala constantes si y sólo si \(\operatorname{Cme}(y)\) es constante en \(y\).
• \(f(\vec{x})\) tiene retornos a escala crecientes si y sólo si \(\operatorname{Cme}(y)\) es decreciente en \(y\).
• \(f(\vec{x})\) tiene retornos a escala decrecientes si y sólo si \(\operatorname{Cme}(y)\) es creciente en \(y\).

Ejercicios

Ejercicio 0 (3 de clase pasada)

Considere la función de producción \[ F(K, L)=A K^{2/3} L^{2/3}, \] donde \(A\) es un parámetro positivo, \(K\) es el capital y \(L\) es el trabajo.

Ejercicio 0 (a)

1. Calcule la productividad marginal de cada factor de producción. ¿Son decrecientes?

Ejercicio 0 (b)

2. Demuestre que esta tecnología exhibe rendimientos crecientes a escala.

Ejercicio 0 (c)

3. Ahora suponga que la función de producción es \(f(K, L)=A K L\). Repita el análisis de los incisos (a)-(b) y compare los resultados obtenidos.

Ejercicio 0 (d)

4. Ahora suponga que la función de producción es \(g(K, L)=A K^2 L^2\). Repita el análisis de los incisos (a)-(b) y compare los resultados obtenidos.

Ejercicio 0 (e)

5. Para los tres casos, plantee el problema de maximización del beneficio de largo plazo y determine si tiene solución.

Ejercicio 0 (f)

6. Para los tres casos, plantee el problema de maximización del beneficio de corto plazo (con \(K=\bar{K}\) constante) y determine si tiene solución.

Ejercicio 1

Considere la función de producción \[f(L)=10 \frac{L^3}{1+L^3}.\]

1. Obtenga la demanda condicional de \(L\).
2. Obtenga las funciones de costo total, medio y marginal.
3. Represente gráficamente y analice la relación entre las curvas.

Ejercicio 2

Considere la función de producción \(f(K, L)=K+L\).

1. Obtenga la demanda condicional de cada factor.
2. Obtenga las funciones de costo total medio y marginal. Relacione los resultados con el tipo de rendimientos a escala.
3. Represente gráficamente.

Ejercicio 3 (2.10 a. y d. de guía)

Derive la función de costo para cada una de las siguientes funciones de producción.

1. \(f(x_1, x_2) = \min\{ax_1, bx_2\}\)
2. \(f(x_1, x_2) = ax_1 + bx_2\)

Ejercicio 4

Considere el problema de minimización de costos de largo plazo. El costo total es \(C(Y)\), el costo medio es \(C M e(Y)\) y el costo marginal es \(C M g(Y)\).

Ejercicio 4 (a)

1. Demuestre que:
   1. \(C M e(Y)\) es decreciente cuando \(C M g(Y)<C M e(Y)\);
   2. \(C M e(Y)\) es creciente cuando \(C M g(Y)>C M e(Y)\);
   3. \(C M g(Y)\) y \(C M e(Y)\) se cortan en el mínimo de \(C M e(Y)\).

Ejercicio 4 (b)

2. Suponga que la función de costo total es \(C(Y)=\frac{7}{2} Y-3 Y^2+Y^3\). Represente gráficamente las curvas \(C(Y), C M e(Y)\) y \(C M g(Y)\). Confirme que los resultados del inciso anterior se cumplen.

Ejercicio 5

Considere el problema de minimización de costos de largo plazo con dos factores, \(K\) y \(L\). El precio de \(K\) es \(r\) y el precio de \(L\) es \(w\).

Ejercicio 5 (a)

1. Demuestre el Lema de Shephard:¹ \[ \begin{aligned} \frac{\partial C}{\partial w}(w, r, Y)&=L^c(w, r, Y) ;\\ \frac{\partial C}{\partial r}(w, r, Y)&=K^c(w, r, Y). \end{aligned} \]

1. Demostración de lema de Shephard

Ejercicio 5 (b)

2. Demuestre que el lema de Shephard se cumple para el caso particular con \(F(K, L)=A K^{\frac{1}{3}} L^{\frac{1}{3}}\).

Ejercicio 6

Considere el problema de minimización de costos de largo plazo con dos factores, \(K\) y \(L\). El precio de \(K\) es \(r\) y el precio de \(L\) es \(w\).

Ejercicio 6 (a)

1. Demuestre que el costo marginal coincide con el cociente entre el precio de un factor y su productividad marginal (evaluada en el óptimo): \(\frac{\partial C}{\partial Y}=\frac{r}{F_K\left(K^c, L^c\right)}=\frac{w}{F_L\left(K^c, L^c\right)}\).

Ejercicio 6 (b)

2. Demuestre que la propiedad anterior se cumple para el caso particular con \(F(K, L)=A K^{\frac{1}{3}} L^{\frac{1}{3}}\).