Minimización de costos II

Microeconomía

Felipe Tappata

8 de septiembre de 2025

Ejercicio 0 (4 de clase pasada)

Considere el problema de minimización de costos de largo plazo. El costo total es \(C(Y)\), el costo medio es \(\operatorname{CMe}(Y)\) y el costo marginal es \(\operatorname{CMg}(Y)\).

Ejercicio 0 (a)

1. Demuestre que:
   1. \(\operatorname{CMe}(Y)\) es decreciente cuando \(\operatorname{CMg}(Y)<\operatorname{CMe}(Y)\);
   2. \(\operatorname{CMe}(Y)\) es creciente cuando \(\operatorname{CMg}(Y)>\operatorname{CMe}(Y)\);
   3. \(\operatorname{CMg}(Y)\) y \(\operatorname{CMe}(Y)\) se cortan en el mínimo de \(\operatorname{CMe}(Y)\).

Ejercicio 0 (b)

2. Suponga que la función de costo total es \(C(Y)=\frac{7}{2} Y-3 Y^2+Y^3\). Represente gráficamente las curvas \(C(Y), \operatorname{CMe}(Y)\) y \(\operatorname{CMg}(Y)\). Confirme que los resultados del inciso anterior se cumplen.

Ejercicio 1

1. Considere una firma que produce un único bien utilizando la siguiente función de producción con dos insumos:

\[\begin{equation*} F\left(x_1, x_2\right)=x_1^{1 / 2}+x_2^{1 / 2} \end{equation*}\]

Ejercicio 1 (a)

1. Obtenga las demandas condicionales de factores y la función de costo total de largo plazo. ¹

1. Ver método de multiplicadores de Lagrange en apéndice matemático.

Ejercicio 1 (b)

2. Utilizando el resultado del inciso anterior, resuelva el problema de maximización del beneficio de largo plazo. Obtenga la curva de oferta y la función de beneficios.

Ejercicio 1 (c)

3. Reemplace el resultado del inciso (b) en las demandas condicionales del inciso (a) y obtenga las demandas de factores.

Ejercicio 1 (d)

4. Compare los resultados anteriores con los obtenidos en el Trabajo Práctico 3.

Ejercicio 1 (e)

5. Obtenga la curva de costo total de corto plazo, suponiendo que \(x_2\) está fijo en el valor \(\bar{x}_2\). Obtenga la demanda condicional de corto plazo para el factor 1 .

Ejercicio 1 (f)

6. Utilizando el resultado del inciso anterior, resuelva el problema de maximización del beneficio de corto plazo. Obtenga la curva de oferta de corto plazo y la función de beneficios de corto plazo.

Ejercicio 1 (g)

7. Reemplace el resultado del inciso (f) en la demanda condicional del inciso (e) y obtenga la demanda de corto plazo del factor 1 .

Ejercicio 1 (h)

8. Compare los resultados anteriores con los obtenidos en el Trabajo Práctico 3.

Ejercicio 2

2. La curva de costo total de largo plazo de una firma es la siguiente:

   \[\begin{equation*} C(Y)=\frac{7}{2} Y-3 Y^2+Y^3 \end{equation*}\]

1. Resuelva el problema de maximización del beneficio y obtenga la curva de oferta de largo plazo.
2. Represente gráficamente.¹

1. Link a Desmos

Ejercicio 3

3. La curva de costo total de corto plazo de una firma es la siguiente:

   \[\begin{equation*} C^{\text{CP}}(Y)=450+100 Y-4 Y^2+\frac{1}{5} Y^3 \end{equation*}\]

1. Resuelva el problema de maximización del beneficio y obtenga la curva de oferta de corto plazo.
2. Represente gráficamente.