Teoría del consumidor

Microeconomía

Felipe Tappata

15 de septiembre de 2025

Teoría de elección

Teoría de elección

• Hay un conjunto \(X\) de alternativas.
• El consumidor tiene una forma de decidir cuál es mejor entre dos alternativas.
• Debe elegir una alternativa de \(B\), que son las alternativas factibles
  • En el contexto de teoría del consumidor, \(B\) es el conjunto de bienes que puede comprar dados los precios y su ingreso.

Relación binaria

• Una relación binaria es una relación entre dos cosas

Definición (Relación binaria)

Una relación binaria \(R\) define una asociación entre elementos de \(X\). Es el conjunto de pares ordenados \((x,y)\) tales que \(x\) tiene dicha asociación con \(y\). Decimos \(x R y\) si \((x,y) \in R\).

Relación binaria: ejemplos

• Mayor o igual: \(X = \mathbb{R}\), \(x R y\) si \(x \geq y\).
• Amigo de: \(X = \{\text{Ana}, \text{Benja}, \text{Cata}\}\), \(x R y\) si \(x\) es amigo de \(y\).
• Igual: \(X = \mathbb{R}\), \(x R y\) si \(x = y\).
• Más alto que: \(X = \{\text{Lebron James}, \text{Kobe Bryant}, \text{Shaquille O'Neal}\)}, \(x R y\) si \(x\) es más alto que \(y\).

Relación de preferencia

• Formalizamos la noción de “cuál es mejor”.

Definición (Relación de preferencia)

Dado un conjunto \(X\) de alternativas mutuamente excluyentes, una relación de preferencia \(\succsim\) es una relación binaria en \(X\). Leemos \(x \succsim y\) como “\(x\) es al menos tan bueno como \(y\)”.

• Por ahora, no imponemos ningún tipo de estructura sobre \(\succsim\).
• Tiene propiedades parecidas a las de \(\geq\).

Preferencia estricta

• De la relación \(\succsim\) podemos definir otras relaciones binarias.

Definición (Preferencia estricta)

La relación de preferencia estricta \(\succ\) se define por \[ x \succ y \text{ si y solo si } x\succsim y \text{ pero no } y\succsim x \]

y se lee “\(x\) es preferido (o estrictamente preferido) a \(y\)”.

• Es parecido a \(>\).

Indiferencia

Definición (Indiferencia)

La relación de indiferencia \(\sim\) se define por \[ x \sim y \text{ si y solo si } x\succsim y \text{ y } y\succsim x \] y se lee “\(x\) es indiferente a \(y\)”.

• Es parecido a \(=\).

Interpretación de preferencias

• La relación binaria de preferencias es una forma de modelar el concepto de “preferencia” en la vida real
• Hablamos como si fueran la misma cosa
• “Pedro prefiere una manzana a una banana y una banana a siete uvas, pero no una banana a diez uvas” es como decir:
  • \(1 \text{ manzana} \succ 1 \text{ banana}\)
  • \(1 \text{ banana} \succ 7 \text{ uvas}\)
  • \(1 \text{ banana}\nsucceq 10 \text{ uvas}\)

Preferencias raras

• No impusimos ningún tipo de restricción a cómo deben ser las preferencias de un consumidor
• Podemos observar comportamientos raros que nos gustaría descartar como “poco realistas”¹
• Ejemplo:
  • \(X = \{\text{Auto } (A), \text{Bicicleta } (B), \text{Camión } (C)\}\)
  • \(A \succ B\)
  • \(B \succ C\)
  • \(C \succ A\)

1. No en el sentido de que no sean parecidos a la realidad, sino en el sentido de que llevan a predicciones no verosímiles. Ver Clase 1.

Racionalidad

• Uno de los supuestos que hacemos para eliminar comportamientos no deseables es imponer racionalidad
• Es un nombre que tiene muchas connotaciones pero para nosotros es una definición matemática muy simple

Definición (Racionalidad)

La relación de preferencias \(\succsim\) es racional si posee las siguientes dos propiedades:

1. Completitud: Para todo \(x, y \in X\), tenemos \(x \succsim y\) o \(y \succsim x\) (o ambos).
2. Transitividad: Para todo \(x, y, z \in X\), si \(x \succsim y\) y \(y \succsim z\), entonces \(x \succsim z\).

Propiedades de racionalidad

• Lo mínimo que vamos a exigir en cualquier modelo es racionalidad.
• Algunas propiedades se desprenden de suponer racionalidad.

Proposición (Implicaciones de racionalidad)

Si \(\succsim\) es racional, entonces

1. La relación de preferencia estricta \(\succ\) es irreflexiva (nunca vale que \(x \succ x\)) y transitiva (si \(x \succ y\) e \(y \succ z\), entonces \(x \succ z\)).
2. La relación de indiferencia \(\sim\) es reflexiva (siempre vale que \(x \sim x\)), transitiva (si \(x \sim y\) e \(y \sim z\), entonces \(x \sim z\)) y simétrica (si \(x \sim y\), entonces \(y \sim x\)).
3. Si \(x \succ y\) e \(y \succsim z\), entonces \(x \succ z\).

Elección del consumidor

• La teoría de preferencias como la definimos vale para \(X\) muy amplio
• Vamos a restringirnos al caso de teoría del consumidor, donde \(X\) es un conjunto de canastas de bienes y \(B\) es el conjunto presupuestario del consumidor, dados los precios y el ingreso.
• Problema del consumidor: Elegir la mejor canasta posible, \(x^* \in B\subset X\), según su relación de preferencias \(\succsim\) sobre \(X\), dados los precios \(p = (p_1, p_2, \ldots, p_L)\) y su ingreso \(m\). A la solución de su problema la llamamos su demanda.

Siempre se puede estar mejor

• Cuando estamos pensando a \(X\) como canastas de bienes, sería natural esperar que las preferencias prioricen canastas con más bienes.
• Tenemos dos propiedades de relaciones de preferencias que nos permiten formalizar esta idea.
• No son tan fundamentales como racionalidad, pero en general vamos a estar suponiendo alguna de las dos.
• Suponemos de ahora en adelante que \(X = \mathbb{R}^L_+\) (canastas no negativas de \(L\) bienes).

Monotonicidad

• Monotonicidad: “más es mejor.”
• Decimos \(x \gg y\) si cada elemento de \(x\) es mayor que el correspondiente de \(y\).
  • \((1, 2, 3) \gg (0, 1, 2)\)

Definición (Monotonicidad)

La relación de preferencia \(\succsim\) en \(X\) es monótona si \(x \in X\) e \(y \gg x\) implica \(y \succ x\).

Monotonicidad fuerte

• Monotonicidad fuerte: “al menos tanto de todo y más de alguno es mejor.”
• Decimos \(x \geq y\) si cada elemento de \(x\) es mayor o igual que el correspondiente de \(y\) y alguno es mayor estricto
  • \((1, 2, 3) \geq (1, 2, 2)\)

Definición (Monotonicidad fuerte)

La relación de preferencia \(\succsim\) en \(X\) es fuertemente monótona si \(x \in X\) e \(y \geq x\) implica \(y \succ x\).

No saciedad local

• No saciedad local: “cerca hay algo mejor.”
• La distancia entre dos canastas \(x\) e \(y\) la denotamos como \(\lVert x - y \rVert\).

Definición (No saciedad local)

La relación de preferencia \(\succsim\) en \(X\) es localmente no saciada si para cada \(x \in X\) y todo \(\varepsilon > 0\), hay un \(y \in X\) tal que \(\lVert y-x \rVert \leq \varepsilon\) e \(y \succ x\).

• En palabras, NSL nos dice que en cualquier entorno de una canasta se puede encontrar una mejor.

Canastas intermedias

• Otra idea que queremos capturar es que las preferencias son “convexas”
• En palabras, convexidad de preferencias captura el hecho de que canastas “intermedias” son mejores que canastas “extremas”
• Esto corresponde con lo que observamos en la vida real: la gente suele preferir consumir un poco de cada bien en lugar de todo de uno
• La palabra “convexidad” surge en contextos donde tomamos promedios entre cosas (en este caso, entre canastas)

Convexidad

• Convexidad: “canastas intermedias no son peores.”
• Una forma de representar un promedio entre dos canastas \(x\) e \(y\) es la combinación convexa \(\alpha x + (1 - \alpha) y\), donde \(\alpha \in (0,1)\). Si \(\alpha = 0.5\), es el promedio simple.¹

Definición (Convexidad)

La relación de preferencia \(\succsim\) en \(X\) es convexa si para todo \(x, y, z \in X\) tales que \(y \succsim x\) y \(z \succsim x\), tenemos que \(\alpha y + (1 - \alpha) z \succsim x\) para cualquier \(\alpha \in (0,1)\).

1. Ver visualización en Apéndice.

Convexidad estricta

• Convexidad estricta: “canastas intermedias son mejores.”

Definición (Convexidad estricta)

La relación de preferencia \(\succsim\) en \(X\) es estrictamente convexa si para todo \(x, y, z \in X\) tales que \(y \succsim x\), \(z \succsim x\) e \(y \neq z\), tenemos \(\alpha y + (1 - \alpha) z \succ x\) para todo \(\alpha \in (0,1)\).

Resumen de definiciones

• Racionalidad consiste en dos propiedades:
  1. Completitud. Toda canasta en \(X\) se puede comparar con cualquier otra.
  2. Transitividad. Si \(x\) es tan bueno como \(y\) e \(y\) tan bueno como \(z\), entonces \(x\) es tan bueno como \(z\).
• Monotonicidad (débil). Si \(y\) tiene más de todos los bienes que \(x\), \(y\) es mejor que \(x\).
• Monotonicidad estrícta (fuerte). Si \(y\) tiene al menos tanto de todos los bienes que \(x\) y más de al menos uno, \(y\) es mejor que \(x\).
• No saciedad local. En cualquier “entorno” alrededor de una canasta, siempre hay una canasta mejor.
• Convexidad. Canastas intermedias son al menos tan buenas.
• Convexidad estricta. Canastas intermedias son mejores.

Utilidad

Utilidad

• Preferencias son buenas porque no le exigen mucho al modelo (supusimos relativamente poco) pero no es fácil “hacer cuentas” con ellas.
• En matemática hay muchas herramientas para trabajar con números reales y funciones de ellos.
• Entonces buscamos de alguna manera traducir preferencias a números.

Función de utilidad

• La función de utilidad es la traducción de preferencias a números

Definición (Función de utilidad)

Una función \(u:X \to \mathbb{R}\) es una función de utilidad asociada a la relación de preferencia \(\succsim\) si para todo \(x, y \in X\), \[ x \succsim y \text{ si y solo si } u(x) \geq u(y). \]

• Es decir, la utilidad de una canasta \(x\) es mayor a la utilidad de una canasta \(y\) cuando \(x\) es preferida a \(y\).

Importancia de racionalidad

• El siguiente resultado muestra por qué es útil el supuesto de racionalidad.

Proposición

Una relación de preferencias \(\succsim\) puede ser representada por una función de utilidad solo si es racional.

Ordinalidad

• La utilidad le otorga un número a cada canasta, pero el nivel es arbitrario.
• El número solo sirve para ponerle un orden a las canastas; no tiene significado en sí.
• Decimos que la utilidad es ordinal por esta razón
• Ejemplo: el puesto de un competidor en un torneo está en una escala ordinal (números menores son mejores) pero no tendría sentido decir algo como que el puesto 1 es “el doble de bueno” que el puesto 2 y el dos “el triple de bueno” que el 6.

Función de utilidad (ejemplos)

• \(X = \mathbb{R}^2_+\), \(x = \text{manzanas}\), \(y = \text{peras}\).
• \(u(x,y) = x + y\).
• \(u(x,y) = \sqrt{x} + 2y\).
• \(u(x,y) = \min\{x,y\}\).
• \(u(x,y) = -\frac{1}{x+2y}\)
• \(u(x, y) = x^\alpha y^\beta\)

Problema del consumidor

Motivación

• Queremos llegar al lado demanda del mercado
• La razón por haber trabajado con preferencias y utilidad es que nos va a permitir modelar la decisión que toma un consumidor
• Vamos a plantear el problema del consumidor, que es el problema de decisión que resuelve un consumidor, y de donde sale la demanda como solución

Conjunto presupuestario

• Definimos el conjunto presupuestario como el conjunto de combinaciones de bienes que el consumidor puede comprar con su ingreso y los precios de los bienes.

Definición (Conjunto presupuestario)

Dado un vector de precios \(\vec{p}=(p_1,p_2,\ldots,p_L)\) y un ingreso \(m\), el conjunto presupuestario es \[ \mathcal{B}(\vec{p},m)=\{\vec{x} \in \mathbb{R}^L_+ : \vec{p} \cdot \vec{x} \leq m\} \]

Recta presupuestaria

• Llamamos recta presupuestaria (RP) a la frontera del conjunto presupuestario, es decir, al conjunto de canastas donde el consumidor gasta todo su ingreso.

Definición (Recta presupuestaria)

Dado un vector de precios \(\vec{p}=(p_1,p_2,\ldots,p_L)\) y un ingreso \(m\), la recta presupuestaria es \[ \mathcal{R}(\vec{p},m)=\{\vec{x} \in \mathbb{R}^L_+ : \vec{p} \cdot \vec{x} = m\} \]

Problema del consumidor

El problema de maximización de utilidad es \[ \begin{array}{cl} \displaystyle \max_{\vec{x}} & U(\vec{x}) \\ \text{sujeto a} & \vec{p} \cdot \vec{x} \leq m, \end{array}\tag{UMP} \] donde \(\vec{x}\) es el vector de consumo, \(\vec{p}\) es el vector de precios y \(m\) es el ingreso del consumidor.¹

1. Recordemos que \((x_1, x_2, \ldots, x_N) \cdot (y_1, y_2, \ldots, y_N) = x_1y_1 + x_2y_2 + \ldots + x_Ny_N\) es el producto punto.

Demandas

La solución del problema de maximización de utilidad será una canasta que depende de los precios y el ingreso, que llamaremos demanda (o demanda marshalliana, o walrasiana para distinguirla de la demanda hicksiana que veremos más adelante).

Definición (Demanda marshalliana)

Para un consumidor, la demanda marshalliana es la solución a UMP, que denotamos

\[ x(\vec{p},m) = x^*(\vec{p},m) = x^M(\vec{p},m) = (x_1(\vec{p}, m), \ldots, x_L (\vec{p}, m)). \]

Demandas II

• En otras palabras, la demanda \(x(\vec{p}, m)\) es la canasta (un vector de consumos) que maximiza la utilidad del consumidor, dado su ingreso y los precios de los bienes.
• Puede haber más de una canasta que maximiza la utilidad, entonces si somos rigurosos hablamos de una correspondencia de demanda en lugar de una función.
• En el curso casi siempre es una función así que no nos preocupamos por eso.¹

1. Un ejemplo importante donde la demanda no es función es con sustitutos perfectos.

Monotonicidad y RP

• Si el consumidor tiene preferencias con no saciedad local, su elección óptima necesariamente se encuentra en la RP
• Monotonicidad implica NSL, así que el siguiente resultado vale para preferencias monótonas

Proposición (Ley de Walras)

Si la relación de preferencias del consumidor cumple no saciedad local, entonces la solución al problema del maximización de utilidad, \(\vec{x}^*\), cumple \[ \vec{p} \cdot \vec{x}^* = m. \]

Maximización de utilidad

Cuando las preferencias son monótonas, el UMP se puede escribir \[ \begin{array}{cl} \displaystyle \max_{\vec{x}} & U(\vec{x}) \\ \text{sujeto a} & \vec{p} \cdot \vec{x} = m, \end{array} \] que es un problema restringido que se puede resolver usando los métodos que conocemos.

Cuidado con Lagrange

Advertencia

El método de Lagrange sirve para encontrar soluciones interiores, bajo ciertas condiciones sobre el problema. En particular, no es la forma de la que resolvemos con preferencias de sustitutos perfectos (soluciones de esquina) o complementos perfectos (función no diferenciable).

Ejercicios

Ejercicios

• 3.4
• 3.5
• 4.1
• 4.2
• 4.3
• 4.4

Ejercicio 3.4

Describa y grafique cuidadosamente las curvas de indiferencia correspondientes a las siguientes funciones de utilidad. Explicite, a su vez, si las preferencias son monótonas y/o convexas justificando adecuadamente su respuesta.

1. \(u(x_1, x_2)=(x_1+x_2)^2\)
2. \(u(x_1, x_2)=x_1^2+x_2^2\)
3. \(u(x_1, x_2)=\max \{a x_1, b x_2\}, a, b>0\)
4. \(u(x_1, x_2)=\ln [x_1+v(x_2)]\), con \(v(\cdot)\) estrictamente cóncava y estrictamente creciente.

Ejercicio 3.5

Julieta odia la historia y la economía. Cuanto más tiempo pasa estudiando cualquiera de esas dos materias, más se aburre. Sin embargo, las preferencias de Julieta entre historia y economía son estrictamente convexas. Grafique curvas de indiferencia que sean coherentes con las preferencias de Julieta. ¿Son las curvas de indiferencia convexas? Explique su respuesta gráfica e intuitivamente.

Ejercicio 4.1

Suponga que para algún \(a>0\) y \(b>0\) un consumidor tiene preferencias representadas por la función de utilidad \(U\left(x_1, x_2\right)=x_1^a x_2^b\). Su ingreso es \(m\) y los precios en el mercado están dados por \(p_1\) y \(p_2\), respectivamente.

Ejercicio 4.1 (a)

1. Para \(m=10, p_1=5\) y \(p_2=1\), dé un ejemplo de una canasta que pertenezca al conjunto de presupuesto pero no a la recta de presupuesto. ¿Puede esta canasta ser una elección óptima del consumidor? ¿Por qué?

Ejercicio 4.1 (b)

2. Dados los parámetros \(\left(m, p_1, p_2\right)\) :

1. ¿Qué canastas pertenecen al conjunto de consumo?
2. ¿Qué canastas pertenecen al conjunto de consumo, pero no a la recta presupuestaria?
3. ¿Qué canastas están sobre la recta presupuestaria?
4. Dadas las preferencias consideradas, ¿existen conjuntos dentro del conjunto de consumo que se podrían eliminar, a priori, como posibles canastas de consumo óptimo?

Ejercicio 4.1 (c)

3. ¿Cambiaría su respuesta al punto b) si \[ U\left(x_1, x_2\right)=15-\left(1-x_1\right)^2-\left(2-x_2\right)^2 \] fuese la función de utilidad?

Ejercicio 4.1 (d)

4. ¿Es posible suponer que \(b=1-a\) ? ¿Por qué? ¿Por qué querría hacer tal supuesto?

Ejercicio 4.2

Tome el ejercicio anterior y suponga que \(a=b=1, m=10, p_1=1\) y \(p_2=5\).

Ejercicio 4.2 (a)

1. ¿El consumidor racional consumirá todo su ingreso o no? ¿Por qué?

Ejercicio 4.2 (b)

2. Use la restricción presupuestaria para reexpresar la función de utilidad en términos de un solo bien.

Ejercicio 4.2 (c)

3. Grafique la función que obtuvo en b), con la utilidad en un eje y el consumo del bien restante en el otro. Explique qué parámetro en las preferencias proporciona la forma particular de la función.

Ejercicio 4.2 (d)

4. Suponga que \((x_1^*, x_2^*)\) es la canasta óptima para el consumidor. ¿Qué condición debe cumplir la derivada de la función que reexpresáramos anteriormente y por qué?

Ejercicio 4.2 (e)

5. Calcule \((x_1^*, x_2^*)\).

Ejercicio 4.3

Ahora suponga que las preferencias están representadas por \(U\left(x_1, x_2\right)=x_1+\ln \left(x_2\right)\), el ingreso es \(m\) y los precios están dados \(p_1\) y \(p_2\).

Ejercicio 4.3 (a)

1. Dibuje cuidadosamente las curvas de indiferencia para estas preferencias. En particular, sea cuidadoso con las pendientes cerca de los ejes.

Ejercicio 4.3 (b)

2. Formule el problema de elección del consumidor y escriba las condiciones necesarias para una solución interior (condiciones de primer orden). ¿Será esta solución siempre interior? Si \(p_1=p_2=1\), ¿qué nivel de ingreso es necesario para obtener una solución interior? ¿Puede describir condiciones más generales?

Ejercicio 4.4

Suponga que \(U\left(x_1, x_2\right)=2 x_1+x_2\), precios dados \(p_1\) y \(p_2\) e ingreso \(m=20\).

Ejercicio 4.4 (a)

1. Formule el problema de elección del consumidor y escriba el problema reducido en función de una sola variable. Explique como solucionarlo.

Ejercicio 4.4 (b)

2. Suponga que existe una solución interior al problema de elección. ¿Qué debe verificarse entonces con respecto a \(p_1\) y \(p_2\) ? Si la solución es interior, ¿Cuántas soluciones hay? (Ayuda: ilústrelo).

Ejercicio 4.4 (c)

3. Bajo qué condición la elección óptima del consumidor es consumir sólo \(x_1\). Bajo qué condición la elección óptima del consumidor es consumir sólo \(x_2\). ¿Cuál es la solución más probable con este tipo de preferencias, soluciones de esquina o interiores?

Ejercicio 4.4 (d)

4. Suponga que \(p_1=4\) y \(p_2=2\). Justifique que es óptimo para el consumidor elegir la canasta \(\left(x_1, x_2\right)=(4,2)\).

Ejercicio 4.4 (e)

5. Suponga ahora que \(p_2\) aumenta a \(p_2^{\prime}=3\). ¿Cómo cambia la canasta óptima? Para el bien 2, ¿Qué parte de este cambio se debe al efecto sustitución y cuál al efecto ingreso? Explique.

Apéndice

Links

Links a material de una clase similar del semestre anterior:

• Grabación
• Apunte

Combinación Convexa

Arrastre los puntos \(A\) y \(B\) y ajuste el valor de \(\alpha\) para ver cómo cambia la combinación convexa \(Z = \alpha A + (1-\alpha) B\).

// Visualization with integrated alpha slider in sidebar
viewof vizWithControls = {
  // Main container
  const container = document.createElement("div");
  container.style.display = "flex";
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  container.style.justifyContent = "space-between";
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  // Theme colors from SCSS
  const themeColors = {
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    lightGray: "#e5e5e5",
    mediumGray: "#9e9e9e",
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  // Plot area
  const plotArea = document.createElement("div");
  plotArea.style.width = "80%";
  
  // Control panel
  const controlPanel = document.createElement("div");
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  controlPanel.style.color = themeColors.foreground;
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  // Create alpha slider directly in the control panel
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  const sliderLabel = document.createElement("label");
  sliderLabel.textContent = "α: ";
  sliderLabel.htmlFor = "alpha-slider";
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  valueDisplay.style.fontWeight = "500";
  
  sliderContainer.appendChild(sliderLabel);
  sliderContainer.appendChild(document.createElement("br"));
  sliderContainer.appendChild(slider);
  sliderContainer.appendChild(valueDisplay);
  
  // Store alpha in a variable that can be updated from our custom slider
  let alphaValue = 0.5;
  
  slider.addEventListener("input", function() {
    alphaValue = parseFloat(this.value);
    valueDisplay.textContent = alphaValue.toFixed(2);
    updateVisualization();
    container.dispatchEvent(new Event("input")); // Notify Observable of change
  });
  
  // Initial positions
  let pointA = [200, 100];
  let pointB = [600, 250];
  
  // Convert between pixel coordinates and data coordinates
  function toDataCoords(px, py) {
    return [
      xScale.invert(px),
      yScale.invert(py)
    ];
  }
  
  function toPixelCoords(dx, dy) {
    return [
      xScale(dx),
      yScale(dy)
    ];
  }
  
  const svg = d3.create("svg")
      .attr("width", 700)
      .attr("height", 350)
      .style("font-family", "Inter, -apple-system, BlinkMacSystemFont, 'SF Pro Text', 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif");
  
  // Create scales for the axes
  const xScale = d3.scaleLinear()
      .domain([0, 10])
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  const yScale = d3.scaleLinear()
      .domain([0, 6])
      .range([310, 20]);
  
  // Create axes
  const xAxis = d3.axisBottom(xScale);
  const yAxis = d3.axisLeft(yScale);
  
  // Style the axes
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  svg.append("g")
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  // Add axis labels
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      .text("Y");
  
  // Add a subtle grid
  svg.append("g")
    .attr("class", "grid")
    .attr("transform", `translate(0,310)`)
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  // Remove grid border
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  // Data coordinates for the points
  let dataA = toDataCoords(pointA[0], pointA[1]);
  let dataB = toDataCoords(pointB[0], pointB[1]);
  let dataZ = [
    alphaValue * dataA[0] + (1 - alphaValue) * dataB[0],
    alphaValue * dataA[1] + (1 - alphaValue) * dataB[1]
  ];
  
  // Calculate pixel coordinates for Z
  let pixelZ = toPixelCoords(dataZ[0], dataZ[1]);
  
  // Draw line between A and B
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      .attr("y2", pointB[1])
      .attr("stroke", themeColors.mediumGray)
      .attr("stroke-width", 1)
      .attr("stroke-dasharray", "5,5");
  
  // Point A (draggable)
  const circleA = svg.append("circle")
      .attr("cx", pointA[0])
      .attr("cy", pointA[1])
      .attr("r", 8)
      .attr("fill", "#4285F4") // Google blue
      .attr("stroke", themeColors.background)
      .attr("stroke-width", 2)
      .attr("cursor", "move")
      .call(d3.drag()
        .on("drag", function(event) {
          pointA[0] = Math.max(40, Math.min(660, event.x));
          pointA[1] = Math.max(20, Math.min(310, event.y));
          dataA = toDataCoords(pointA[0], pointA[1]);
          updateVisualization();
        }));
  
  // Point B (draggable)
  const circleB = svg.append("circle")
      .attr("cx", pointB[0])
      .attr("cy", pointB[1])
      .attr("r", 8)
      .attr("fill", "#0F9D58") // Google green
      .attr("stroke", themeColors.background)
      .attr("stroke-width", 2)
      .attr("cursor", "move")
      .call(d3.drag()
        .on("drag", function(event) {
          pointB[0] = Math.max(40, Math.min(660, event.x));
          pointB[1] = Math.max(20, Math.min(310, event.y));
          dataB = toDataCoords(pointB[0], pointB[1]);
          updateVisualization();
        }));
  
  // Point Z (convex combination)
  const circleZ = svg.append("circle")
      .attr("cx", pixelZ[0])
      .attr("cy", pixelZ[1])
      .attr("r", 8)
      .attr("fill", themeColors.accent)
      .attr("stroke", themeColors.background)
      .attr("stroke-width", 2);
  
  // Labels
  const labelA = svg.append("text")
      .attr("x", pointA[0] + 12)
      .attr("y", pointA[1] - 8)
      .attr("fill", themeColors.foreground)
      .style("font-weight", "600")
      .style("font-size", "14px")
      .text("A");
  
  const labelB = svg.append("text")
      .attr("x", pointB[0] + 12)
      .attr("y", pointB[1] - 8)
      .attr("fill", themeColors.foreground)
      .style("font-weight", "600")
      .style("font-size", "14px")
      .text("B");
  
  const labelZ = svg.append("text")
      .attr("x", pixelZ[0] + 12)
      .attr("y", pixelZ[1] - 8)
      .attr("fill", themeColors.foreground)
      .style("font-weight", "600")
      .style("font-size", "14px")
      .text("Z");
  
  // Update function
  function updateVisualization() {
    // Recalculate Z in data coordinates
    dataZ = [
      alphaValue * dataA[0] + (1 - alphaValue) * dataB[0],
      alphaValue * dataA[1] + (1 - alphaValue) * dataB[1]
    ];
    
    pixelZ = toPixelCoords(dataZ[0], dataZ[1]);
    
    // Update line
    line
      .attr("x1", pointA[0])
      .attr("y1", pointA[1])
      .attr("x2", pointB[0])
      .attr("y2", pointB[1]);
    
    // Update circles
    circleA
      .attr("cx", pointA[0])
      .attr("cy", pointA[1]);
      
    circleB
      .attr("cx", pointB[0])
      .attr("cy", pointB[1]);
    
    // Update point Z
    circleZ
      .attr("cx", pixelZ[0])
      .attr("cy", pixelZ[1]);
    
    // Update labels
    labelA
      .attr("x", pointA[0] + 12)
      .attr("y", pointA[1] - 8);
    
    labelB
      .attr("x", pointB[0] + 12)
      .attr("y", pointB[1] - 8);
    
    labelZ
      .attr("x", pixelZ[0] + 12)
      .attr("y", pixelZ[1] - 8);
    
    // Update control panel
    updateControlPanel();
  }
  
  // Function to update the control panel
  function updateControlPanel() {
    // Update the slider value (if it wasn't the source of the update)
    if (parseFloat(slider.value) !== alphaValue) {
      slider.value = alphaValue;
      valueDisplay.textContent = alphaValue.toFixed(2);
    }
    
    // Update the rest of the control panel info
    const coordsInfo = document.createElement("div");
    
    // Style for coordinate values
    const valueStyle = `color: ${themeColors.foreground}; font-family: "SF Mono", Menlo, Consolas, Monaco, monospace; font-size: 0.9em;`;
    
    coordsInfo.innerHTML = `
      <div style="margin-bottom:10px; border-top: 1px solid ${themeColors.mediumGray}; padding-top: 8px;">
        <strong style="color: #4285F4;">A:</strong> <span style="${valueStyle}">(${dataA[0].toFixed(2)}, ${dataA[1].toFixed(2)})</span>
      </div>
      <div style="margin-bottom:10px;">
        <strong style="color: #0F9D58;">B:</strong> <span style="${valueStyle}">(${dataB[0].toFixed(2)}, ${dataB[1].toFixed(2)})</span>
      </div>
      <div style="margin-bottom:10px;">
        <strong style="color: ${themeColors.accent};">Z:</strong> <span style="${valueStyle}">(${dataZ[0].toFixed(2)}, ${dataZ[1].toFixed(2)})</span>
      </div>
      <div style="margin-bottom:10px; border-top: 1px solid ${themeColors.mediumGray}; padding-top: 8px;">
        <span style="color: ${themeColors.accent}; font-weight: 600;">Z</span> = <span style="color: #4285F4;">${alphaValue.toFixed(2)}A</span> + <span style="color: #0F9D58;">${(1-alphaValue).toFixed(2)}B</span>
      </div>
    `;
    
    // Clear previous coordinate info and append new info
    while (controlPanel.childNodes.length > 1) {
      controlPanel.removeChild(controlPanel.lastChild);
    }
    controlPanel.appendChild(coordsInfo);
  }
  
  // Initial control panel setup
  controlPanel.appendChild(sliderContainer);
  updateControlPanel();
  
  // Set up value property for Observable
  Object.defineProperty(container, "value", {
    get() {
      return alphaValue;
    }
  });
  
  // Append the SVG to the plot area
  plotArea.appendChild(svg.node());
  
  // Append everything to the container
  container.appendChild(plotArea);
  container.appendChild(controlPanel);
  
  return container;
}