Microeconomía
9 de octubre de 2025
Suponga que las preferencias de un consumidor pueden ser representadas por la siguiente función de utilidad:
\[ u\left(x_1, x_2\right)=\left(x_1+x_2^{1/4}\right)^{\alpha/(\alpha+\beta)} \]
Donde \(\alpha\) y \(\beta\) son tales que \(\alpha/(\alpha+\beta)\) es positivo.
Justifique que las preferencias del individuo pueden representarse también por la función
\[w\left(x_1, x_2\right)=x_1+x_2^{1/4}\]
- A partir de aquí trabaje con la función \(w\left(x_1, x_2\right)\), independientemente de que haya podido justificar que es posible hacerlo. ¿Cómo se conocen este tipo de preferencias?
- Grafique las curvas de indiferencia de \(w\left(x_1, x_2\right)\). ¿Cómo son las curvas de indiferencia entre si? Justifique analíticamente.
- Sean \(p_1\) y \(p_2\) los precios de los bienes 1 y 2 respectivamente, y sea \(M\) el ingreso de este consumidor. Halle las cantidades que el consumidor demandará de ambos bienes. ¿Qué condición debe satisfacerse para que la solución hallada sea interior?
- Suponga que los precios de los bienes y la renta del individuo son tales que la solución efectivamente es interior, ¿cómo es la elasticidad ingreso de la demanda de \(x_2\) ? Justifique analítica y conceptualmente.
Suponga un productor con la siguiente función de producción:
\[ f\left(x_1, x_2\right)=\left(x_1 x_2\right)^{1 / 3} \]
- Plantee el problema de minimización de costos del productor y el Lagrangiano.
- Obtenga las condiciones de primer orden del problema de minimización de costos y a partir de allí, obtenga las funciones de demanda condicionada de los factores.
- Obtenga la función de costos asociada a esta función de producción. ¿Cómo haría para obtener las demandas condicionadas de factores a partir de esta función de costos?
- Suponga que \(w_1=2\), \(w_2=2\). Utilice la función de costos hallada en el inciso anterior para plantear el problema de maximización de beneficios. Ayuda: si no pudo hallar la función de costos del inciso anterior, para los próximos incisos asuma que la función de costos es 1 \[C\left(y, w_1, w_2\right)=2\left(w_1+w_2\right)^{1 / 2} y^{3 / 2}.\]
- Obtenga las condiciones de primer orden del problema de maximización de beneficio. Calcule la función de oferta de la firma.
- Calcule la elasticidad de la oferta respecto al precio. Interprete la expresión hallada.
Las preferencias de este consumidor pueden ser representadas a partir de la siguiente función de utilidad:
\[ U\left(x_1, x_2\right)=10 x_1 e^{x_2} \tag{1}\]
- Comience analizando las preferencias: describa si son monótonas, convexas y si las curvas de indiferencia cortan los ejes. Luego plantee el problema del consumidor que enfrenta precios \(p_1\), \(p_2\) y presupuesto \(m\). Plantee el Lagrangiano. ¿Cómo se interpreta el multiplicador de Lagrange en este problema?
- Obtenga las demandas marshallianas de los bienes 1 y 2. Obtenga la función de utilidad indirecta. (Ayudas: Tenga cuidado con los puntos de corte. Recuerde usar la función de utilidad provista en la Ecuación 1 para calcular la utilidad indirecta.)
- Asuma que \(p_1=5\) y \(p_2=15\). Encuentre, si es posible, un par de valores \(m_1\) y \(m_2\) tales que para \(m_1\) sólo se demanda el bien 1 y para \(m_2\) se demandan ambos bienes. Identifique las cantidades demandadas de cada bien en esos casos.
- ¿Es posible argumentar que uno de los bienes se comporta como bien inferior? ¿Es el bien 2 complementario, sustituto o independiente del bien 1 cuando \(p_1=5\), \(p_2=15\), \(m=100\) y la solución es interior? ¿Cuál es la elasticidad de la demanda del bien 1 con respecto a su propio precio en el mismo punto interior? ¿Es el bien 1 complementario, sustituto o independiente del bien 2 cuando \(p_1=5\), \(p_2=15\), \(m=100\) y la solución es interior?