Microeconomía
10 de octubre de 2025
Una firma produce un único bien utilizando la siguiente función de producción:
\[ F(K, L)=A \frac{K L}{K+L}, \]
donde \(K\) (capital) y \(L\) (trabajo) son los factores de producción y \(A\) es un parámetro positivo.
Considere el problema de minimización de costos de largo plazo:
\[ \begin{array}{ll} \min _{K, L} & w L+r K \\ \text { s. a } & A \frac{K L}{K+L}=Y \\ & K \geq 0, L \geq 0 \end{array} \]
donde \(Y \geq 0\) es el nivel de producción, \(w>0\) es el salario y \(r>0\) es el precio del capital.
Demuestre que las demandas condicionales de factores son
\[ \begin{aligned} L^c(w, r, Y)=\left(1+\left(\frac{r}{w}\right)^{\frac{1}{2}}\right) \frac{Y}{A}\\ K^c(w, r, Y)=\left(1+\left(\frac{w}{r}\right)^{\frac{1}{2}}\right) \frac{Y}{A} . \end{aligned} \]
- ¿Qué ocurre con las cantidades demandadas si aumenta \(\frac{r}{w}\)? ¿Qué ocurre si aumenta \(Y\)? ¿Y si aumenta \(A\)? Interprete.
- ¿Qué ocurre si \(r\) y \(w\) aumentan en la misma proporción? ¿Qué nos dice este resultado sobre el grado de homogeneidad en precios de las demandas condicionales?
Demuestre que la función de costo total es
\[C(w, r, Y)=\left(w^{\frac{1}{2}}+r^{\frac{1}{2}}\right)^2 \frac{Y}{A}\]
- Represente gráficamente ( \(Y\) en el eje horizontal, \(C\) en el eje vertical).
- ¿Qué ocurre con el costo total si \(r\) y \(w\) aumentan en la misma proporción? ¿Qué nos dice este resultado sobre el grado de homogeneidad en precios de la función de costo total?
- Obtenga las funciones de costo medio \(C M e(w, r, Y)\) y costo marginal \(C M g(w, r, Y)\).
- Represente gráficamente ( \(Y\) en el eje horizontal, \(CMe\) y \(C M g\) en el eje vertical).
- En base a la función de costo medio, ¿qué puede decir acerca de los rendimientos a escala de la tecnología de producción?
- Utilizando la función de producción, confirme que su respuesta a la pregunta anterior es correcta.
Suponga que \(w=1, r=4\) y \(A=10\). Demuestre que las funciones de los incisos anteriores se reducen a:
\[ \begin{gathered} L^c(Y)=\frac{3}{10} Y, K^c(Y)=\frac{3}{20} Y,\\ C(Y)=\frac{9}{10} Y, C M e(Y)=\frac{9}{10}, C M g(Y)=\frac{9}{10} . \end{gathered} \]
De ahora en adelante suponga que \(w=1, r=4\) y \(A=10\).
Considere el problema de maximización del beneficio de largo plazo:
\[ \max_{Y \geq 0} \quad p Y-C(Y), \]
donde \(p>0\) es el precio del bien y \(C(Y)\) es la función de costo total obtenida previamente.
- Obtenga la curva de oferta de largo plazo y represéntela gráficamente ( \(p\) en el eje vertical, \(Y\) en el eje horizontal).
- Obtenga el nivel de beneficios en el óptimo.
Considere el problema de minimización de costos de corto plazo:
\[ \begin{array}{ll} \min _{L \geq 0} & w L+r \bar{K} \\ \text { s. a } & A \frac{\bar{K} L}{\bar{K}+L}=Y \end{array} \]
donde \(Y \geq 0\) y \(K\) está fijo en el valor \(\bar{K}=4\). Continúe suponiendo que \(w=1, r=4\) y \(A=10\).
- Demuestre que la demanda condicional del factor \(L\) en el corto plazo es \(L^{c p}(Y)=\frac{4 Y}{40-Y}\), para todo \(Y \in[0,40)\). Nota: reemplace los valores \(\bar{K}=4, w=1, r=4\) y \(A=10\) antes de resolver el problema.
- Demuestre que la función de costo total de corto plazo es \(C^{c p}(Y)=16+\frac{4 Y}{40-Y}\), para todo \(Y \in[0,40)\).
- Obtenga las curvas de costo fijo medio (CFMe), costo variable medio (CVMe), costo medio (CMe ) y costo marginal ( \(C M_g^{c p}\) ). Represéntelas gráficamente, de manera aproximada ( \(Y\) en el eje horizontal). ¿Qué puede decir sobre las relaciones entre estas curvas?
Considere ahora el problema de maximización del beneficio de corto plazo:
\[ \max _{Y \geq 0} \quad p Y-C^{c p}(Y), \]
donde \(C^{c p}(Y)\) es la curva de costo total de corto plazo encontrada previamente.
- Obtenga la curva de oferta de corto plazo y represéntela gráficamente. No olvide considerar la posibilidad de que la producción óptima sea nula ( \(Y=0\) ).
- Reemplazando el resultado anterior en \(L^{c p}(Y)=\frac{4 Y}{40-Y}\), obtenga la demanda de trabajo de corto plazo como función del precio: \({L}^{c p}(p)\).
Carla tiene la siguiente función de utilidad que representa sus preferencias sobre \(x_1\) (Chocolate) y \(x_2\) (Resto de bienes):
\[ u\left(x_1, x_2\right)=\left\{\begin{array}{cc} 0 & \text { si } x_1<\alpha \\ \left(x_1-\alpha\right)^{\frac{1}{2}} x_2^{\frac{1}{2}} & \text { si } x_1 \geq \alpha \end{array}\right. \]
Carla necesita consumir una cantidad mínima de chocolate para tener un nivel de utilidad positivo, dada por \(\alpha>0\).
¿Son estas preferencias convexas y monótonas? ¿Lo son estrictamente? ¿Cómo cambia su conclusión si sólo se tiene en cuenta el caso donde \(x_1 \geq \alpha\) y \(x_2 \geq 0\)? Para ayudarse puede dibujar curvas de indiferencia, siendo especialmente cuidadoso a la hora de marcar dónde la utilidad es igual a 0 y dónde es mayor a 0.
De aquí en adelante vamos a suponer que \(m>p_1 \alpha\), por lo que nos concentraremos en canastas cuyo nivel de utilidad asociado es positivo.
- Plantee el problema de maximización de utilidad, justificando brevemente por qué la restricción presupuestaria se cumple con igualdad. Construya el Lagrangiano correspondiente.
- Halle las funciones de demanda marshallianas de Carla, \(x_1^M(p, m)\) y \(x_2^M(p, m)\).
Si no pudo encontrar las demandas en el punto anterior, utilice las siguientes expresiones para los próximos incisos:
\[ \begin{aligned} x_1^M(p, m) & =\frac{m}{2 p_1} \\ x_2^M(p, m) & =\frac{m}{2 p_2} \end{aligned} \]
Nota: estas demandas NO son la respuesta al inciso (c).
- ¿Son \(x_1\) y \(x_2\) bienes normales o inferiores? ¿Hay algún bien Giffen o ambos son ordinarios? ¿Son sustitutos brutos, complementarios brutos o independientes entre sí? Demostrar analíticamente.
Suponga que en un mercado las preferencias de los consumidores de tabaco se pueden representar mediante la siguiente función de utilidad:
\[ u\left(t_0, t_1, c\right)=c+\ln \left(t_0+\alpha t_1\right) \]
con \(\alpha>1\), donde \(t_0\) es el consumo de cigarrillos de baja calidad y \(t_1\) el consumo de cigarrillos de calidad alta, mientras que \(c\) es el consumo del resto de los bienes.
Asuma que \(p_c=1\) y \(m>1\) y derive las demandas marshallianas de \(t_0\) y \(t_1\). En particular, muestre que
\[ t_0=\left\{\begin{array}{cl} \frac{1}{p_0} & \text { si } p_{1}>\alpha p_{0} \\ \in\left[0, \frac{1}{p_{0}}\right] & \text { si } p_{1}=\alpha p_{0} \\ 0 & \text { si } p_{1}<\alpha p_{0} \end{array} \quad \text { y } t_1=\left\{\begin{array}{cl} 0 & \text { si } p_{1}>\alpha p_{0} \\ \frac{1}{\alpha p_{0}}-\frac{t_0}{\alpha} & \text { si } p_{1}=\alpha p_{0} \\ \frac{\alpha}{p_{1}} & \text { si } p_{1}<\alpha p_{0} \end{array}\right.\right. \]
y en todos los casos \(c=m-1\).
- Suponga que \(\alpha=2\) y que el ingreso de los consumidores es siempre suficiente para financiar el consumo de tabaco. Partimos de los siguientes precios \(p_{t 0}=4\), \(p_{t 1}=10, p_c=1\). Analice la situación de un incremento del \(50 \%\) de los precios al consumidor para ambos tipos de cigarrillos (los precios al consumidor pasan a 6 y 15). Determine el consumo de \(t_0\) y \(t_1\) después del cambio de precios.
- Partiendo nuevamente de precios de \(p_{t 0}=4, p_{t 1}=10\), analice el efecto de un incremento del precio por cigarrillo de \(3 \$\), que llevará los precios al consumidor a \(p_{t 0}=7, p_{t 1}=13\). Determine el consumo de \(t_0\) y \(t_1\) después del cambio.
- El gobierno está preocupado por reducir el consumo de productos nocivos asociados al tabaco que incluyen la nicotina y aditivos. Un cigarrillo de mala calidad tiene más sustancias nocivas que uno de buena calidad. Con este objetivo, el gobierno considera dos alternativas. La primera es un impuesto proporcional al precio del \(50 \%\), como en el inciso (b). La segunda alternativa es un impuesto de \(3 \$\) por cigarrillo, como en el inciso (c). Suponga que parte del precio \(p_{t 0}=4\), \(p_{t 1}=10\), y que hay ofertas perfectamente elásticas, por lo que los cambios en impuestos implican directamente modificaciones en los precios al consumidor, como en los incisos anteriores. ¿Cuál de los dos impuestos lleva a un consumo menor de sustancias nocivas?