Dualidad

Microeconomía

Felipe Tappata

20 de octubre de 2025

Dualidad

Dualidad

• Llamamos dualidad a la relación que existe entre los dos problemas de optimización del consumidor
• Usando diferentes objetos (e.g., demandas hicksianas, función de utilidad indirecta) podemos recuperar otros a través de los resultados de dualidad
• La idea principal es que si los definimos de cierta manera, las soluciones de los dos problemas coinciden

Relación entre UMP y EMP

Proposición (Relación entre UMP y EMP)

Sea \(u(\cdot)\) una función de utilidad continua que representa una relación de preferencia \(\succsim\) en el conjunto de consumo \(\mathbb{R}^L_+\), donde \(L\) es el número de bienes, y el vector de precios es \(p \gg 0\). Entonces

1. Si \(x^*\) es la canasta que maximiza utilidad cuando la riqueza es \(w > 0\), entonces \(x^*\) minimiza el gasto cuando el nivel de utilidad requerido es \(u(x^*)\). El gasto minimizado en el problema es exactamente \(w\).
2. Si \(x^*\) minimiza el gasto cuando el nivel de utilidad requerido es \(u\), entonces \(x^*\) maximiza la utilidad cuando la riqueza es \(p \cdot x^*\). El nivel de utilidad maximizado en el problema es exactamente \(u\).

En palabras

• Si en el UMP le damos al consumidor \(m = e(p, u)\), la mínima cantidad de dinero que necesita para alcanzar el nivel de utilidad \(u,\) entonces el máximo nivel de utilidad que puede alcanzar es justamente \(u\) (y lo alcanza en la misma canasta que minimiza el gasto).
• Si en el EMP fijamos el nivel de utilidad \(u = v(p, m)\), el máximo nivel de utilidad que puede alcanzar con ingreso \(m,\) entonces lo mínimo que necesita gastar para alcanzar ese nivel de utilidad es justamente \(m\) (y lo alcanza en la misma canasta que maximiza la utilidad).

Gasto y utilidad indirecta

Proposición (Relación entre gasto y utilidad indirecta)

Para un vector de precios \(p \gg 0\), riqueza \(m > 0\), y un nivel de utilidad \(u > u(0)\), vale que \[ e(p, v(p, m)) = m, \] donde \(e(p, u)\) es la función de gasto y \(v(p, m)\) la función de utilidad indirecta, y que \[ v(p, e(p, u)) = u. \]

Demandas hicksianas y marshallianas

Proposición (Relación entre demanda hicksiana y marshalliana)

Para un vector de precios \(p \gg 0\), riqueza \(m > 0\) y un nivel de utilidad \(u > u(0)\), vale que \[ h(p, u) = x(p, e(p, u)), \] donde \(h(p, u)\) es la demanda hicksiana y \(x(p, m)\) la demanda marshalliana, y que \[ x(p, m) = h(p, v(p, m)). \]

Identidad de Roy

Proposición (Identidad de Roy)

Sea \(u(\cdot)\) una función de utilidad continua que representa una relación de preferencia localmente no-saciada y estrictamente convexa \(\succsim\) sobre el conjunto de consumo \(X = \mathbb{R}^L_+\), que es diferenciable en un punto \((p, m)\gg 0\). Entonces \[ x_\ell(p, m) = -\frac{\partial v(p, m)/\partial p_\ell}{\partial v(p, m)/\partial m} \quad \text{para } \ell = 1, \ldots, L. \]

Ecuación de Slutsky

Proposición (Ecuación de Slutsky)

Sea \(u(\cdot)\) una función de utilidad continua que representa una relación de preferencia localmente no-saciada y estrictamente convexa \(\succsim\) sobre el conjunto de consumo \(X = \mathbb{R}^L_+\). Entonces, para todo \((p, m)\) y \(u = v(p, m)\), vale que \[ \frac{\partial h_\ell (p, u)}{\partial p_k} = \frac{\partial x_\ell(p, m)}{\partial p_k} + \frac{\partial x_\ell (p, m)}{\partial m} x_k(p, m) \quad \text{para } \ell, k = 1, \ldots, L, \] o analogamente \[ \frac{\partial x_\ell (p, m)}{\partial p_k} = \frac{\partial h_\ell (p, u)}{\partial p_k} - \frac{\partial x_\ell(p, m)}{\partial m}x_k(p, m) \quad \text{para } \ell, k = 1, \ldots, L. \]

Efecto ingreso y sustitución

• El primer término de la ecuación de Slutsky \((\partial h_\ell (p, u)/\partial p_k)\) es el efecto sustitución, que mide el cambio en la demanda hicksiana de \(x_\ell\) cuando cambia el precio de \(p_k\) manteniendo constante el nivel de utilidad \(u\).
• La diferencia entre este cambio y \(\partial x_\ell(p, m)/\partial p_k\) es el efecto ingreso: \[ -\frac{\partial x_\ell (p, m)}{\partial m}x_k(p, m) \]

Cambios discretos

Proposición (Efecto ingreso y sustitución para cambios discretos)

Sean \(p_0\) y \(p_1\) los precios antes y después de un cambio y \(u = v(p_0, m)\). El efecto sustitución se define \[ {\rm ES} = h(p_1, u) - h(p_0, u). \] Los efectos ingreso y total se definen entonces \[ \begin{aligned} {\rm ET} &= x(p_1, m) - x(p_0, m),\\ {\rm EI} &= {\rm ET} - {\rm ES} = x(p_1, m) - h(p_1, u), \end{aligned} \] usando dualidad en la última igualdad.

Ejercicios

Ejercicio 1 (5.1)

La función de utilidad de un consumidor es \[u(x_1, x_2)=x_1^2 x_2.\]

1. Obtenga las curvas de demanda usuales y compensadas.
2. Calcule las elasticidades precio directa, precio cruzada e ingreso para los bienes \(x_1\) e \(x_2\) en cada uno de los casos.

Ejercicio 2 (5.3)

La función de utilidad de un consumidor es \[u(x_1, x_2)=2 x_1 x_2+x_2.\]

1. Obtenga las curvas de demanda usuales y compensadas.
2. Calcule las elasticidades precio directa, precio cruzada e ingreso para los bienes \(x_1\) e \(x_2\) en cada uno de los casos.

Ejercicio 3 (5.6)

Hallar las funciones de demanda de los bienes \(x_1\) y \(x_2\) si el agente tiene las siguientes funciones de demanda compensada:

\[ \begin{aligned} h_1\left(p_{1}, p_2, u\right) & =\left(1+\sqrt{\frac{p_2}{p_1}}\right) u, \\ h_2\left(p_{1}, p_2, u\right) & =\left(1+\sqrt{\frac{p_1}{p_2}}\right) u. \end{aligned} \]

Ayuda: deduzca primero la función de gasto y luego la función de utilidad indirecta para poder usar la identidad de Roy.

Ejercicio 4 (5.8)

Considere

\[ v\left(p_1, p_2, m\right)=\frac{m}{p_1+p_2}. \]

Calcule las funciones de demanda marshalliana y la función de gasto.

Ejercicio 5 (5.9)

Suponga que la función de utilidad viene dada por \(u\left(x_1, x_2\right)=x_1^\alpha x_2^{1-\alpha}.\)

1. Derive las funciones de demanda.
2. Compute los efectos sustitución y renta para el bien \(x_1\) dado un cambio en el precio de \((3,3)\) a \((3,4)\) si el ingreso es de 100 .

Ejercicio 6

Considere la función de utilidad cuasilineal \(U\left(x_1, x_2\right)=\ln \left(x_1\right)+x_2.\)

1. Suponga que el consumidor se encuentra en la solución interior. Calcule los efectos riqueza y sustitución derivados de un cambio en el precio del bien 1 y demuestre que se cumple la ecuación de Slutsky para el bien 1.
2. Represente gráficamente, para una caída de \(p_1\).