Microeconomía
3 de noviembre de 2025
Proposición (Money metric utility)
Dado un consumidor con preferencias \(\succsim\), función de gasto \(e(p, u)\), función de utilidad indirecta \(v(p, m)\) y un vector de precios \(\bar{p} \gg 0\), la función
\[ e(\bar{p}, v(p, m)) \] es una función de utilidad indirecta para \(\succsim\).
Definición (Variación equivalente)
Dado un consumidor con ingreso \(m\), función de gasto \(e(p, u)\), función de utilidad indirecta \(v(p, m)\) y un cambio de precios de \(p^0\) a \(p^1\), la variación equivalente se define
\[ \mathit{EV}\left(p^0, p^1, m\right)=e\left(p^0, u^1\right)-e\left(p^0, u^0\right) \] donde \(u^0=v\left(p^0, m\right)\) у \(u^1=v\left(p^1, m\right)\).
La variación equivalente se puede interpretar como la cantidad de dinero que el consumidor sería indiferente a recibir en lugar del cambio en precios. Es decir, el cambio en ingreso que sería equivalente al cambio en precios, en términos de su impacto sobre el bienestar.
Definición (Variación compensatoria)
Dado un consumidor con ingreso \(m\), función de gasto \(e(p, u)\), función de utilidad indirecta \(v(p, m)\) y un cambio de precios de \(p^0\) a \(p^1\), la variación compensatoria se define
\[ C V\left(p^0, p^1, m\right)=e\left(p^1, u^1\right)-e\left(p^1, u^0\right) \] donde \(u^0=v\left(p^0, m\right)\) у \(u^1=v\left(p^1, m\right)\).
La variación compensatoria se puede interpretar como el ingreso neto de un planner que debe compensar al consumidor luego de que ocurra el cambio en precios, o (menos) el valor que el consumidor estaría indiferente a recibir después del cambio en precios para permitir que ocurra.
Usando que \(e\left(p^1, u^1\right)=m\) у \(e\left(p^0, u^0\right)=m\), podemos reescribir las medidas de cambio en bienestar como
\[ \begin{aligned} & E V\left(p^0, p^1, m\right)=e\left(p^0, u^1\right)-m, \\ & C V\left(p^0, p^1, m\right)=m-e\left(p^1, u^0\right). \end{aligned} \]
En la práctica, esto nos ahorra un poco de álgebra.
Podemos también usar dualidad para expresar las medidas de bienestar en una forma implícita donde su interpretación intuitiva es más directa,
\[ \begin{aligned} & v\left(p^0, m+E V\right)=u^1, \\ & v\left(p^1, m-C V\right)=u^0. \end{aligned} \]
Consideremos un cambio en un solo precio: el del bien 1 , de \(p_1^0\) a \(p_1^1\). Como las demanda hicksiana del bien \(1, h_1(\cdot)\) es la derivada parcial de la función de gasto \(e(\cdot)\) con respecto a \(p_1\), podemos escribir
\[ \begin{aligned} & E V\left(p_0, p^1, m\right)=\int_{p_1^1}^{p_1^0} h_1\left(p_1, \ldots, p_L, u^1\right) d p_1, \\ & C V\left(p_0, p^1, m\right)=\int_{p_1^1}^{p_1^0} h_1\left(p_1, \ldots, p_L, u^0\right) d p_1. \end{aligned} \]
Suponga que un consumidor tiene la función de utilidad \[ u\left(x_1, x_2\right)=x_1^{0,5} x_2^{0,5} \]
y un ingreso de \(100\). Originalmente enfrenta un vector de precios \((1,1)\). ¿Cuáles son las variaciones equivalente y compensatoria en su ingreso cuando el vector de precios cambia a \((2,1)\)?
Demuestre que si la función de utilidad es cuasilineal en el bien 1, es decir, \[ u(x_1, x_2) = x_1 + v(x_2), \] entonces la variación compensadora y la variación equivalente son iguales para cualquier cambio en precios de \(p^0 = (p_1, p_2^0)\) a \(p^1 = (p_1, p_2^1)\).
La función de utilidad de un individuo está dada por \(u(x, y)=\min \{x, y\}\). Este individuo tiene un ingreso de \(\$ 15.000\) y el precio de \(x\) e \(y\) es de 1 en ambos casos. Su jefe está considerando la posibilidad de trasladarlo a otra ciudad donde el precio de \(x\) es 1 y el precio de \(y\) es de 2. Sin embargo, no le ofrece ninguna suba salarial. Este individuo, que comprende perfectamente los conceptos de variación compensadora y de variación equivalente, se queja amargamente. Dice que no le importa trasladarse (la nueva ciudad le resulta tan agradable como la otra) pero tener que hacerlo es tan malo como una reducción del salario en $A. También dice que no le importaría trasladarse si le ofrecieran una suba de $B. Compute los valores de A y B. Repita lo hecho cuando el nivel de ingreso es \(m\).
Suponga que un consumidor tiene la siguiente función de utilidad: \(u(x_1, x_2)=x_1+x_2\). Inicialmente el consumidor enfrenta el siguiente vector de precios: \((p_1, p_2)=(1,2)\) y posee un ingreso de 10. Si los precios cambian a \(\left(p_1, p_2\right)=(4,2)\), calcule las variaciones compensatoria y equivalente.