Microeconomía
10 de noviembre de 2025
Los agentes resuelven el problema \[ \begin{aligned} \max_{x_i \in X_i} \quad & u_i(x_i) \\ \text{s.a} \quad & p^*\cdot x_i \leq p^* \cdot \omega_i. \end{aligned} \] Si definimos \(m = p^* \cdot \omega_i\), el problema es análogo al problema del consumidor que vimos antes.
Definición (Equilibrio)
Una asignación \((x_1^*, \ldots, x_I^*)\) y un vector de precios \(p^* \in \mathbb{R}^L\) constituyen un equilibrio competitivo (o equilibrio walrasiano) si cumplen las siguientes condiciones:
Proposición (Ley de Walras)
Si una asignación \((x_1, \ldots, x_I)\) y un vector de precios \(p \gg 0\) satisfacen la condición de vaciamiento de mercados \[ \sum_{i=1}^I x_{\ell i}=\sum_{i=1}^I \omega_{\ell i} \] para todo \(\ell \neq k\), y si la restricción presupuestaria de cada consumidor se satisface con igualdad, entonces el mercado del bien \(k\) también se vacía.
Definición (Optimalidad de Pareto)
Una asignación factible \((x_1, \ldots, x_I)\) es óptima en el sentido de Pareto o Pareto óptima (o Pareto eficiente) si no existe otra asignación factible \((x_1', \ldots, x_I')\) tal que \(u_i(x_i') \geq u_i(x_i)\) para todo \(i\) y \(u_j(x_j') > u_j(x_j)\) para algún \(j\).
Proposición (Primer teorema fundamental de la economía del bienestar)
Si el precio \(p^*\) y la asignación \((x_1^*, \ldots, x_I^*)\) constituyen un equilibrio competitivo, entonces la asignación es Pareto óptima.
Proposición (Segundo teorema fundamental de la economía del bienestar)
Para cualquier asignación Pareto óptima \((x_1^*, \ldots, x_I^*)\), existen transferencias \((T_1, \ldots, T_I)\) tales que \(\sum_i T_i = 0\) tales que para la dotación \((\omega_1 + T_1, \ldots, \omega_I + T_I)\) el equilibrio competitivo tiene asignación \((x_1^*, \ldots, x_I^*)\).
Considere una economía donde hay dos bienes y un consumidor con función de utilidad
\[ u\left(x_1, x_2\right)=\pi \log \left(x_1\right)+(1-\pi) \log \left(x_2\right) \]
e ingreso monetario \(m\). La utilidad depende de un parámetro \(\pi\). Suponga que \(\pi \in(0,1)\). Suponga que el precio del bien 2 es \(p_2=1\).
- Calcule las funciones de demanda del consumidor por el bien 1 y por el bien 2 .
- Suponga que hay otro consumidor que tiene las mismas preferencias que el primero. Llamemos “Seguro” al primer consumidor y “Segurola” a la segunda. Escriba las funciones de demanda de los dos consumidores
- Suponga que Seguro tiene dotación inicial \((100,0)\) y que Segurola tiene dotación Inicial \((0,100)\) ¿Cómo quedan ahora las demandas de los consumidores, tomando en cuenta que obtienen sus ingresos de vender las dotaciones iniciales?
- Defina lo que es un equilibrio general para esta economía.
- Calcule los precios y las asignaciones de equilibrio según la definición que dio en el inciso anterior.
- Ahora supongan que el bien 1 es “riqueza si llueve”, el bien 2 es “riqueza si no llueve” y \(\pi\) es la probabilidad de que llueva. Seguro vive de vender paraguas, de forma que si llueve él va a tener una riqueza de 100. Segurola vive de vender bronceador, de forma que su riqueza es 100 si no llueve. Interprete el análisis hecho en los incisos anteriores según este esquema.
- Analice qué sucede cuando modifica \(\pi\). Interprete intuitivamente.
Considere una economía donde hay dos bienes y un consumidor con función de utilidad
\[ u\left(x_1, x_2\right)=x_1^{1 / 2}+\beta x_2^{1 / 2} \]
e ingreso monetario \(m\). La utilidad depende de un parámetro \(\beta\). Suponga que \(\beta \in(0,1)\). Suponga que el precio del bien 1 es \(p_1=1\).
- Calcule las funciones de demanda del consumidor por el bien 1 y por el bien 2 .
- Suponga que hay otro consumidor que tiene las mismas preferencias que el primero. Llame “Tempranero” al primer consumidor y “Tardía” a la segunda. Escriba las funciones de demanda de ambos consumidores.
- Suponga que Tempranero tiene dotación inicial \((100,0)\) y que Tardía tiene dotación inicial \((0,100)\) ¿Cómo quedan ahora las demandas de los consumidores, tomando en cuenta que obtienen sus ingresos de vender las dotaciones iniciales?
- Defina lo que es un equilibrio general para esta economía.
- Calcule los precios y las asignaciones de equilibrio según la definición que dio en el inciso anterior.
- Suponga que el bien 1 es “riqueza hoy” y que el bien 2 es “riqueza mañana”. Tempranero es alguien que recibe todo su ingreso hoy y nada mañana. Tardía es todo lo opuesto: recibe su riqueza mañana y nada hoy. Interprete el análisis hecho en los incisos anteriores según este esquema
- Analice qué sucede cuando se modifica \(\beta\). Interprete intuitivamente.
Considere una economía de intercambio puro como las vistas en clase. Suponga dos consumidores ( \(A\) y \(B\) ) cuyas preferencias definidas sobre dos bienes ( \(x_1\) y \(x_2\) ) están representadas por las funciones de utilidad
\[ \begin{aligned} u_A\left(x_{1 A}, x_{2 A}\right) & =2 x_{1 A}+x_{2 A} \\ u_B\left(x_{1 B}, x_{2 B}\right) & =x_{1 B}+x_{2 B} \end{aligned} \]
Las dotaciones agregadas de la economía son \(\omega_1=4\) y \(\omega_2=10\) y suponga que la dotación de cada bien se reparte equitativamente entre ambos consumidores.
- Encuentre las demandas marshallianas de ambos bienes para ambos consumidores.
- Defina en qué consiste un equilibrio walrasiano con dotaciones de ambos bienes en esta economía y encuentre todos los equilibrios.
- Represente en una caja de Edgeworth el equilibrio hallado en el punto (b).
- Decimos que la asignación del consumidor \(i, x_i=\left(x_{1 i}, x_{2 i}\right)\) es libre de envidia si \(u_i\left(x_i\right) \geq u_i\left(x_j\right)\) con \(i \neq j\), es decir, si el consumidor \(i\) obtiene (débilmente) una mayor utilidad de consumir su canasta en lugar de la del otro consumidor. Además, decimos que una asignación es justa si es libre de envidia y Pareto óptima. ¿Es, en este caso, la asignación de equilibrio justa? Justifique su respuesta.