Microeconomía
3 de abril de 2025
El problema de minimización de costos es el problema restringido:1 \[ \begin{array}{cl} \displaystyle \min_{y} & C(\vec{x})\\ \text{s. a} & f(\vec{x}) = y,\\ \end{array} \] donde \(\vec{x}\) es el vector de insumos, \(f\) es la función de producción, \(y\) es un nivel de producción arbitrario y \(C(\vec{x})\) es el costo total de producción con insumos \(\vec{x}\).
En nuestro modelo de competencia perfecta, si \(\vec{x} = x_1, \ldots, x_n\) son los insumos, el problema toma la forma \[ \begin{array}{cl} \displaystyle \min_{y} & w_1 x_1 + w_2 x_2 + \cdots + w_n x_n\\ \text{s. a} & f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = y,\\ \end{array} \tag{CMP} \] donde \(w_i\) es el precio del insumo \(i\).
Definición (Demanda condicionada de factores)
Llamamos demanda condicionada de factores a la solución del problema de minimización del costo \[ x_i = z_i(w_1, w_2, \ldots, w_n, y), \quad i = 1, \ldots, n. \]
Definición (Función de costo)
El valor optimizado de la función objetivo del problema de minimización de costos es la función de costo: \[ c(y, w_1, w_2, \ldots, w_n) = w_1 z_1(\cdot) + \cdots + w_n z_n(\cdot). \]
Definición (Costo marginal)
El costo marginal es la derivada de la función de costo respecto a \(y\): \[ \operatorname{Cmg}(y, w_1, w_2, \ldots, w_n) = \frac{\partial c(y, w_1, w_2, \ldots, w_n)}{\partial y}. \]
Definición (Costo medio)
El costo medio es el costo total dividido por la cantidad producida: \[ \operatorname{Cme}(y, w_1, w_2, \ldots, w_n) = \frac{c(y, w_1, w_2, \ldots, w_n)}{y}. \]
Proposición (Costo medio y retornos a escala)
Sea \(f(\vec{x})\) la función de producción y \(\operatorname{Cme}(y)\) la función de costo medio de una firma.
El Boeing 747 es un avión muy utilizado en todo el mundo. Según los datos proporcionados por Boeing a un comité del senado de los EE.UU. en 1975, el costo (en centavos) por pasajero-milla de operación de ese avión en vuelos de 1200 y 2500 millas con 250, 300 y 350 pasajeros a bordo era:
Pasajeros Millas 1200 2500 250 4.3 3.4 300 3.8 3.0 350 3.5 2.7
- ¿Cuál es el costo marginal aproximado de transportar un pasajero adicional cuando se está transportando un número de pasajeros entre 250 y 300 en un vuelo de 1200 millas?
- ¿Cuál es el costo marginal aproximado de volar una milla adicional cuando se están transportando 300 pasajeros en un vuelo que recorre entre 1200 y 2500 millas?
- ¿Cuál es el costo marginal aproximado de volar una milla adicional cuando se están transportando 300 pasajeros en un vuelo que recorre entre 1200 y 2500 millas?
La corporación IBM es una de las más grandes productoras de computadoras en el mundo. El costo total de largo plazo para producir el modelo 370/168 responde, dentro del rango de producción relevante a la función: \[ CT = 28,303,800+460,800 y, \] donde \(y\) es la cantidad producida. Este costo total está medido en dólares.
- Si todo el mercado para este tipo de computadoras llega a 1000 computadoras y si todas las empresas que producen computadoras completamente similares, tienen la misma función de costo total de largo plazo. ¿Cuánto menor es el costo medio de largo plazo para una empresa que posee el \(50 \%\) del mercado frente a otra que sólo abastece el \(20 \%\) del mismo mercado?
- ¿Cuál es el costo marginal de largo plazo para IBM? ¿Depende ese costo marginal del número de computadoras producidas?
- ¿Cómo parecen ser los rendimientos a escala en la producción de este tipo de computadoras?
Considere la siguiente función de producción: \[ f(x_1, x_2) = x_1^\alpha x_2^{1 - \alpha}, \] con \(\alpha \in (0, 1)\).
- Formule el problema de minimización de costos de la firma. Esto es, el problema que al resolverlo le da el modo más barato de producir un determinado nivel de producto y cuando los precios de los factores son \(w_1\) y \(w_2\).
- Derive las condiciones que deben verificarse en un óptimo.
- Obtenga la función de costos.
- Suponga ahora que el factor 1 está fijo en \(x_1 = 1\).
- ¿Cuál es la solución a este problema de minimización de costos de “corto plazo”?
- ¿Cuál es la función de costos asociada?
- Para \(y=1, \alpha=1 / 3, p=3\) y \(w_1=1, w_2=3\), ¿cómo se simplifica la expresión anterior?
- Compare la función de minimización de costos de “corto plazo” con la solución al problema cuando ambos factores son variables para los mismos valores de los parámetros.
- ¿Cómo se comparan los costos si \(w_1 \neq 1\) pero el resto de los parámetros se mantiene constante?
Derive las funciones de costo para las siguientes tecnologías
- \(f\left(x_1, x_2\right)=\min \left\{a x_1, b x_2\right\}\)
- \(f\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)=\min \left\{x_1, x_2, \ldots, x_n\right\}\)
- \(f\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)=\min \left\{a_1 x_1, a_2 x_2, \ldots, a_n x_n\right\}\)
- \(f\left(x_1, x_2\right)=a x_1+b x_2\)
- \(f\left(x_1, x_2\right)=\min \left\{a x_1, b x_2\right\}-k\), con \(k>0\)
Una empresa tiene una función de producción
\[ f\left(x_1, x_2\right)=\min \left\{2 x_1+x_2, x_1+3 x_2\right\} \]
donde \(x_1\) y \(x_2\) son las cantidades de los inputs 1 y 2 que utiliza la firma para producir un único producto \(y\). El precio del insumo 1 es \(w_1=3\) y el del insumo 2 es \(w_2=5\). Supongamos adicionalmente que se quieren producir 10 unidades de producto. Halle las cantidades de los insumos 1 y 2 que se van a utilizar tomando en cuenta que la empresa quiere minimizar los costos de producción.
Los incisos (a)-(d) los hicimos en la clase de maximización de beneficios.
Considere el caso de un productor que utiliza sólo un insumo, \(x\), para producir un único producto, \(y\), de acuerdo con la siguiente tecnología de producción:
\[ f(x) = x^\alpha, \quad \text{con} \, \alpha \in (0, 1). \]
- Formule el problema de minimización de costos.
- Obtenga la función de costos.
- Plantee el problema de maximización de beneficios usando la función de costos y obtenga la función de oferta. Verifique que es la misma que ya obtuvo en (c). Verifique nuevamente la condición de segundo orden. ¿Qué propiedad de la función de costos garantiza que se cumple?
A usted le preocupa la limpieza de su casa. Para ello requiere de tiempo (s) y productos de limpieza \((x)\). Asuma que para adquirir un nivel de limpieza \(L\), la tecnología viene dada por
\[ L=\min \{\alpha s ; x-\bar{x}\} \]
donde \(\alpha>0\) y \(\bar{x}>0\) son parámetros. El precio de los productos de limpieza es \(p\) y el de su hora de trabajo es \(w\) (el salario horario que ganaría por trabajar en la oficina en lugar de limpiar su hogar).
- Muestre que esta tecnología no exhibe retornos constantes a escala.
- Grafique la isocuanta de nivel \(\bar{L}\), ubicando \(s\) en el eje de abscisas y \(x\) en el eje de ordenadas.
- Suponga que usted quiere la combinación de tiempo y productos de limpieza que le permitan alcanzar un nivel de limpieza \(\bar{L}>0\) de la forma más barata posible. Formule el problema correspondiente y obtenga su elección óptima, así como el costo mínimo. ¿Cómo depende el costo mínimo de \(\bar{x}\) ? Brinde una interpretación económica.
- Considere ahora la posibilidad de contratar a una persona que lo venga a ayudar con la limpieza. Llame \(s_1\) al tiempo que usted dedica a limpiar, y \(s_2\) al tiempo que esta persona dedica a limpiar, por lo que el tiempo total dedicado a la limpieza de su hogar es \(s=s_1+s_2\). Usted debe pagar, por hora, un monto \(g\) a esta persona que lo asiste. ¿Cuál será su propio trabajo \(s_1\) en limpieza del hogar si \(g<w\) ?