Microeconomía
22 de septiembre de 2025
Definición (Utilidad indirecta)
Dadas las demandas \(\vec{x}^*(\vec{p}, m)\) que resuelven el problema de maximización de utilidad del consumidor, la utilidad indirecta se define como
\[ v(\vec{p}, m) = u(\vec{x}^*(\vec{p}, m)). \]
Proposición (Propiedades de la utilidad indirecta)
Si \(u(\cdot)\) es continua y representa preferencias localmente no saciadas, la función de utilidad indirecta es:
Proposición (Identidad de Roy)
Sea \(u(\cdot)\) continua, representando preferencias localmente no saciadas y estrictamente convexas. Si \(v(\vec{p}, m)\) es diferenciable en un punto \((\vec{p}, m)\), entonces la demanda marshalliana del bien \(x_k\) es \[ x_k(\vec{p}, m) = -\frac{\partial v(\vec{p}, m) / \partial p_k}{\partial v(\vec{p}, m) / \partial m}. \]
Definición (Tasa marginal de sustitución)
La tasa marginal de sustitución del bien \(x_\ell\) por el bien \(x_k\) en el punto \(\vec{x}\) se define como \[ \operatorname{TMS}_{\ell k}(\vec{x}) = \frac{\partial u(\vec{x})/\partial x_\ell}{\partial u(\vec{x})/\partial x_k} = \frac{\operatorname{UMG}_\ell}{\operatorname{UMG}_k}. \]
Definición (Bien ordinario)
Decimos que el bien \(x_k\) es ordinario en un punto \((\vec{p}, m)\) si \(\partial x_k(\vec{p}, m) / \partial p_k < 0\). Es decir, si la demanda de \(x_k\) disminuye cuando su precio aumenta.
Definición (Bien Giffen)
Decimos que el bien \(x_k\) es Giffen en un punto \((\vec{p}, m)\) si \(\partial x_k(\vec{p}, m) / \partial p_k > 0\). Es decir, si la demanda de \(x_k\) aumenta cuando su precio aumenta.
Definición (Bien normal)
Decimos que el bien \(x_k\) es normal en un punto \((\vec{p}, m)\) si \(\partial x_k(\vec{p}, m) / \partial m > 0\). Es decir, si la demanda de \(x_k\) aumenta cuando el ingreso aumenta.
Definición (Bien inferior)
Decimos que el bien \(x_k\) es inferior en un punto \((\vec{p}, m)\) si \(\partial x_k(\vec{p}, m) / \partial m < 0\). Es decir, si la demanda de \(x_k\) disminuye cuando el ingreso aumenta.
Suponga que \(U\left(x_1, x_2\right)=2 x_1+x_2\), precios dados \(p_1\) y \(p_2\) e ingreso \(m=20\).
- Formule el problema de elección del consumidor y escriba el problema reducido en función de una sola variable. Explique como solucionarlo.
- Suponga que existe una solución interior al problema de elección. ¿Qué debe verificarse entonces con respecto a \(p_1\) y \(p_2\) ? Si la solución es interior, ¿Cuántas soluciones hay? (Ayuda: ilústrelo).
- Bajo qué condición la elección óptima del consumidor es consumir sólo \(x_1\). Bajo qué condición la elección óptima del consumidor es consumir sólo \(x_2\). ¿Cuál es la solución más probable con este tipo de preferencias, soluciones de esquina o interiores?
- Suponga que \(p_1=4\) y \(p_2=2\). Justifique que es óptimo para el consumidor elegir la canasta \(\left(x_1, x_2\right)=(4,2)\).
- Suponga ahora que \(p_2\) aumenta a \(p_2^{\prime}=3\). ¿Cómo cambia la canasta óptima? Para el bien 2, ¿Qué parte de este cambio se debe al efecto sustitución y cuál al efecto ingreso? Explique.
Considere la función de utilidad
\[ U\left(x_1, x_2\right)=\ln x_1+\ln \left(x_2-\theta\right) \]
con \(\theta>0\). Suponga que se cumple \(m/p_2>\theta\).
- Obtenga las demandas Marshallianas.
- Grafique la ruta de expansión.
- Grafique las dos curvas de Engel. Determine si los bienes son normales o inferiores.
- Calcule la fracción del ingreso que se destina a cada bien.
- Calcule la elasticidad ingreso para cada bien.
- Determine si las preferencias son homotéticas.
- Represente gráficamente las curvas de demanda ( \(x_i\) en el eje horizontal, \(p_i\) en el eje vertical). Determine si los bienes son ordinarios o Giffen.
- ¿Qué ocurre con la curva de demanda del bien 1 cuando aumenta el precio del bien 2? ¿Qué ocurre con la curva de demanda del bien 2 cuando aumenta el precio del bien 1?
- Obtenga la función de utilidad indirecta.
- Demuestre que se cumple la Identidad de Roy.
Considere a un individuo cuyas preferencias se pueden representar a través de la siguiente función de utilidad:
\[ U\left(x_1, x_2\right)=\ln x_1-2 \ln \left(10-x_2\right) \]
- Obtenga las demandas marshallianas suponiendo que \(p_1>0\), \(p_2=1\) y \(5<m<10\).
- Demuestre que el bien 1 es inferior.
- Demuestre que el bien 1 es ordinario.
- Obtenga la función de utilidad indirecta y demuestre que se cumple la identidad de Roy.
Ahora suponga que la función de utilidad es
\[ U\left(x_1, x_2\right)=\ln \left(x_1-1\right)-2 \ln \left(10-x_2\right) \]
- Obtenga las demandas marshallianas suponiendo que \(p_1>0\), \(p_2=1\) y \(5+p_1<m<10+2 p_1\).
- Demuestre que el bien 1 es inferior.
- Demuestre que el bien 1 es Giffen cuando \(m>10\).
Considere a un individuo cuyas preferencias se pueden representar a través de la siguiente función de utilidad:
\[ U\left(x_1, x_2\right)=10-\left(x_1-5\right)^2-\left(x_2-5\right)^2 \]
El conjunto presupuestario es:
\[ \begin{aligned} & p_1 x_1+p_2 x_2 \leq m \\ & x_1 \geq 0, x_2 \geq 0 \end{aligned} \]
Suponga que \(p_1=p_2=1\).
- Obtenga la canasta óptima de consumo cuando el ingreso es \(m=12\).
- Obtenga la canasta óptima de consumo cuando el ingreso es \(m=6\).
- Represente gráficamente e interprete los resultados obtenidos.